不等式の証明２

質問

次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて実数を表す。
　10(2a^2+3b^2+5c^2)≧(2a+3b+5c)^2
　(2乗は^2と表記して良いのでしょうか）

　よろしくお願いします。
　数式の書き方も教えて下さい。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

こんな程度は一発で片が付く。

シュワルツの不等式というのがある。
（x＾2＋y＾2＋z＾2）*（α＾2＋β＾2＋γ＾2）≧（αx＋βy＋γz）＾2.
但し、等号は、αx＝βy＝γzの時。

この不等式で、a＝√2、b＝√3、c＝√5とし、x＝a√2、y＝b√3、z＝c√5とするだけ。等号成立は？

回答No.5

take_5

ＡＮＯ-1の書き込みミスに今頃になって気がついた。。。。笑

＞但し、等号は、αx＝βy＝γzの時。

　　　　　　　↓

但し、等号は、βx＝αy、γx＝αz、βz＝γyが同時に成立する時。

お礼

回答ありがとうございます。一人でわからない時、いつも詰まってしまっています。これからもよろしくお願いします。

回答No.4

take_5

ちょつと気が付き難いだろうが。。。。。。？

左辺-右辺＝6a＾2－12ab-20ac+21b＾2+25c＾2-30bc＝（6a＾2－12ab＋6b＾2）＋（15b＾2-30bc+15c＾2）＋（10c＾2-20ac+10a＾2）＝6*（a-b）＾2＋15*（b-c）＾2＋10*（c-a）＾2≧0.
等号は、a＝b＝cの時。

不等式って一定の解法がないから辛いが、それが又楽しいところではある。
これは、平方式の和にするつもりで、abとbcとcaの係数に着目して変形できる。。。。。。。裏話だけど。。。。。笑

回答No.3

take_5

正直に計算しても良い。

左辺-右辺＝16a＾2-4*（3b+5c）*a＋（21b＾2+25c＾2-30bc）＝16{a-（3b+5c）/8}＾2＋（75/4）*（b-c）＾2≧0.
等号は、a＝b＝cの時。

回答No.2

take_5

書き込みミス。。。。笑

＞この不等式で、a＝√2、b＝√3、c＝√5とし

　　　　　↓

この不等式で、α＝√2、β＝√3、γ＝√5とし