数II 不等式の証明

質問

御世話になっております。
教科書一冊、参考書一冊で数学を独学中の者です。

例えば、不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caを証明しろ という問題。また、これに限らず、二次の不等式の証明は、証明の大筋をざっくり掴んだ当方には中々その解法の流れが掴めずにつまずいております。なぜなら、p⇒qの形をとらずにいるためです。

実数の二乗は0以上という基本は踏まえてます。しかし、不等式の左辺-右辺を平方完成する意味も中々掴めません。
平方完成する意味とか含めて、不等式の証明についてざっくりと御説明下さると助かります。御自身の解釈の範囲で構いません。宜しくお願い致します。

回答No.1

nayamibito_pass · ベストアンサー

高校数学レベルの解釈ですが。

不等式の証明はいろいろな方法がありますが、この例題の場合は左辺－右辺の形にしてそれが0以上であると示すのが一番かと思います。

左辺－右辺＝1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧０

この流れに平方完成をするという意図はない気がします。
もうこの式だとこう変形するのは当たり前ですし、そう覚えていいかと。

ほかの不等式の場合も平方完成というか、どうにかして(～～)^2の形を作りにいくという意図で式変形をします。

数２の範囲であるなら、不等式の分野で出てくる問題はわざと式変形が独特な問題な問題が多いので、もはやある程度覚えて、あとはその応用で解くイメージだと思います。

ちなみに不等式以外の分野で出てくる不等式の証明はもっと単純なものが多いと思います（普通に二乗の形を作るのが見え見えだったり、微分したりなどなど）。

質問者さんがどういう意図で勉強されているのかは分かりませんが、私はこれぐらいの気持ちで勉強して旧帝大医学部に入れました。
それ以上の解釈は数学オリンピックとかが好きな人や大学で専攻する方のみで十分だと思います。

お礼

なるほど。 安心しました。
ご回答ありがとうございました