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対数の手計算
11を底とする2の対数（log[11](2)）を小数第2位まで求めよという問題で、log2やlog3などの近似値を使用せず、完全に手計算でlog[11](2)を小数第2位まで求めてみました。解法のチェックをお願いいたします。 2^3.45<11<2^3.5 …（１）であることを利用します。 （１）が成り立てば3.45<log[2](11)<3.5 なので逆数をとれば 1/3.5<log[11](2)<1/3.45 ∴0.28571<log[11](2)<0.28986 です。 （関数電卓では0.2890648263） （１）の11<2^3.5が成り立つのは、両辺を平方すれば121<2^7=128 となることから明らかです。 （１）の2^3.45<11が成り立つことの証明です。両辺を2^3で割った 2^0.45<11/8 つまり2^(9/20)<11/8 を示します。 両辺を平方して 2^(9/10)<121/64 さらに両辺を10乗した 2^9<(121/64)^10 を示せば良いことになります。 (121/64)^10の計算は楽ではありませんが、分子が1小さい（120/64)^10については（120/64)=(15/8)=(2-1/8)=(2-2^(-3))なので、 二項定理（または(a-b)^10の公式）によってこちらは手計算で計算可能で(詳細は最後に別掲) （120/64)^10>537>512=2^9 とわかります。 まとめると 2^9<(120/64)^10<(121/64)^10 で、2^3.45<11が成り立ちます。 結論 log[11](2)≒0.28 （0.28571<log[11](2)<0.28986） 計算の詳細 (2-2^(-3))^10=2^10-10・2^6+45・2^2-120・2^(-2)+210・2^(-6)-252・2^(-10)+210・2^(-14)-120・2^(-18)+45・2^(-22)-10-2^(-26)+2^(-30) =1024-640+180-30+105/32-63/256+210/2^14-120/2^18+45/2^22-10/2^26-10/2^28+1/2^30 上式の第6項までの和は、537+9/256です。第7項以降で負の項は第8項の-120/2^18と第10項の-10/2^30だけでこの和は-9/256より小です。 したがって(121/64)^10>(2-2^(-3))^10>537>512=2^9
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- f272
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最後まで計算できたのならチェックなどしなくてもいいと思うがいかが。 まあ、全部読んでもおかしなところは見つからなかったけどね。
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目的の為に頑張れ、とか あと少しだ！頑張れ！とか明確にゴールが あるなら分かるが 説教するのに なぁ、お前頑張れよ、って始まるのは 意味わからない、 は？今頑張ってるんですけど？ 相談したら説教？は？ イライラしてたら、 殴られて、しっかりしろよ！って説得される、 ↑これぐらいウザい、これ本当にやったら 逆効果でしょ とりあえず、変なタイミングで 頑張れよ、って言われるのはウザくないですか？
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お礼
ご回答ありがとうございます。計算結果は正しいと考えましたが、最後に数学の授業を受けてから50年経過していますので、「浦島太郎的解法」になっているのではないかと思い、質問した次第です。中学校で開平法や計算尺の使い方を教えられた世代です。