不等式の証明

質問

いつもお世話になります。次の証明がわからないので、やり方、解法などを教えてください。
「a>0,b>0,c>0のとき、(a/b+b/c)(b/c+c/a)(c/a+a/b)≧8が成り立つことを証明せよ」

（自分で適当に考えた解答）
a/b+b/c≧2√((a/b)*(b/c))
b/c+c/a≧2√((b/c)*(c/a))
c/a+a/b≧2√((c/a)*(a/b))
よって
左辺≧2√((a/b)*(b/c))*2√((b/c)*(c/a))*2√((c/a)*(a/b))=8

よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa

相加相乗平均に限らずですが、等号を含む不等式を考えるときには、等号が成立する条件を常に把握することを心がけると良いでしょう。特にご質問の不等式の証明の場合、等号が成立することをきちんと説明する必要があると思います。
violet1031さんの解答において、
a/b+b/c≧2√((a/b)*(b/c))　・・・　(1)
b/c+c/a≧2√((b/c)*(c/a))　・・・　(2)
c/a+a/b≧2√((c/a)*(a/b))　・・・　(3)
の(1)、(2)、(3)の等号が同時に成立することを証明しないと、
左辺≧2√((a/b)*(b/c))*2√((b/c)*(c/a))*2√((c/a)*(a/b))=8
の等号を証明したことにならないことに注意しましょう。
ですから、(1)～(3)の等号成立条件、a/b=b/c、b/c=c/a、c/a=a/bを（同時に）満足するるa,b,cが存在することを示してから（それはa=b=cになります）、
左辺≧2√((a/b)*(b/c))*2√((b/c)*(c/a))*2√((c/a)*(a/b))=8
を言えば良いでしょう。
violet1031さんの解答ですと、例えば次のような問題で失敗します。
例題：　a>0,b>0において(a+1/b)(b+4/a)の最小値を求めよ
これを、
a+1/b≧2√(a/b), b+4/a≧2√(4b/a) →　与式≧2√(a/b) 2√(4b/a)=8
とするのは誤りです。これは２つの相加相乗平均の式の等号が同時に成立させるa,bが存在しないので、与式≧・・・の等号が成立しないからです。
正解は、(a+1/b)(b+4/a)=5+ab+4/(ab)≧5+2√((ab)(4/ab))=9、等号はab=4/ab即ちab=2で成立する、です。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
よくわかりました。
等号成立条件を先に言わなければならない問題は初めて見ました。

回答No.2

fukuda-h

典型的な相加相乗平均を使う問題で、これであってます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

good777

a>0,b>0,c>0だからいいんじゃない。

お礼

ありがとうございます。