不等式の証明について

質問

コーシー・シュワルツの不等式の特別な場合についての問題です。
（3）の代入後の式整理についてご教示いただければと思います。

解答によると、（3）で(2)の結果の不等式を使い、d=a+b+c/3とおいて代入したときの右辺が

a^2+b^2+c^2/3

になるようなのですが、導かれるまでの過程がわかりません。
そのまま代入して計算しますと

　a^2+b^2+c^2+(a+b+c/3)^2/4
=1/4(9a^2+9b^9c^2+a^+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)/9)
=1/4(10(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)/9)
となって行き詰まってしまいます。
左辺は代入して整理しすぐ（a+b+c/3)^2と変形できたのですが右辺がわかりません。
ご教示よろしくお願いいたします。

回答No.2

178-tall

>そのまま代入して計算しますと
　a^2+b^2+c^2+(a+b+c/3)^2/4
=1/4(9a^2+9b^9c^2+a^+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)/9)
=1/4(10(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)/9)
となって行き詰まってしまいます。

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この問答、ちょいと巧妙。

>(a+b+c)/3 = (a+b+c+d)/4 を満たす d を考え
…ると、
　d = (a+b+c)/3

これを (2) へ適用すると、
　左辺 = {(a+b+c+d)/4}^2 = {(a+b+c)/3}^2
　右辺 = (a^2+b^2+c^2+d^2)/4 = {a^2+b^2+c^2+{(a+b+c)/3}^2}/4
となる。

右辺の最後尾項 {(a+b+c)/3}^2/4 を左辺へ移項すれば、
　{(a+b+c)/3}^2 - {(a+b+c)/3}^2/4 = (3/4)*{(a+b+c)/3}^2≦(a^2+b^2+c^2)/4
　　　　↓
　{(a+b+c)/3}^2≦(a^2+b^2+c^2)/3
を得る。

回答No.1

f272

(2)の結果を使えば
((a+b+c)/3)^2=((a+b+c+d)/4)^2≦(a^2+b^2+c^2+d^2)/4
です。ここで
(a^2+b^2+c^2)/3-(a^2+b^2+c^2+d^2)/4
=((a^2+b^2+c^2)/3-d^2)/4
=((a^2+b^2+c^2)/3-((a+b+c)/3)^2)/4
=(1/36)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
≧0
ですから
(a^2+b^2+c^2+d^2)/4≦(a^2+b^2+c^2)/3
がわかり
((a+b+c+d)/4)^2≦(a^2+b^2+c^2+d^2)/4≦(a^2+b^2+c^2)/3
となります。

補足

とても分かりやすい解説でした。
（2）で示した不等式の右辺と示したい不等式(a^2+b^2+c^2)/3の大小を比較すればよかったのですね。これって結局A≧B,B≧C⇒A≧Cなんですね。式が少し複雑になると基本的な性質が見えなくなってしまうので精進したいです。
回答ありがとうございました。