積分 問題

質問

積分 問題

∫[α～β]（x-α）^2（ｘ-β）dxについて。
私は、（x-α）^2（ｘ-β）を展開して解いていたのですが、
テキストの回答には，
（x-α）^2（ｘ-β）＝（x-α）^2（x-α+α-β）＝（x-α）^3-（β-α）（x-α）＾2
として積分すれば-（β-α）^4/12となるとありました。

（x-α）^2（ｘ-β）＝（x-α）^2（x-α+α-β）＝（x-α）^3-（β-α）（x-α）＾2
の仕方が理解できません。
どのような操作を行っているのでしょうか？
部分分数分解的な操作なのでしょうか？？？

また、∫[α～β]（x-α）^3-（β-α）（x-α）＾2dxはどのように積分すれば
良いのでしょうか？
今回は、xが括弧内で1次式なので、そのまま1/4（x-α）^4としてよいかと思いますが、
仮にxが2次式以上であれば、やはり置換した方が無難でしょうか？

自分で読み返したのですが、数式が本当に読み難くてすいませんm(_ _)m

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

A#1の補足質問について

>なぜ、(x-α)^3+(α-β)(x-α)^2ではなく、
>(x-α)^3-(β-α)(x-α)^2としたのでしょうか？
積分して、上限を代入したとき　「(x-α)のベキ乗」の項が「(β-α)のべき乗」の項になるからです。
第2項目の(β-α)の項が掛けられて、全体が「(β-α)^4」で括り出せるからですね。

お分かりになりましたか？

>積分に関しては、置換積分を使った方が簡単そうですね。積分範囲はa→bが、なぜ0→β-αとなるのでしょうか？

x=α～x=βは　t=x-αと置換すればtの下限と上限は　t=x-α=α-α=0 ～t=x-α=β-αとなります。

お分かりになりませんか？

回答No.6

hugen

ｘ-β＝(ｘ-α)-(β-α)

回答No.5

alice_44

＞ なぜ、(x-α)^3+(α-β)(x-α)^2ではなく、
＞ (x-α)^3-(β-α)(x-α)^2としたのでしょうか？

それをどちらの形にするかは、どっちでもあまり差のない話です。
(x-α)^3+(α-β)(x-α)^2でも構いません。後で整理すればよい。

＞ 積分範囲はa→bが、なぜ0→β-αとなるのでしょうか？

t = x-α と置いたから、x = α→β が t = 0→β-α に
置き換えられたのです。x と t の対応を確認してみましょう。
多項式の定積分は、積分区間の一端が 0 だと計算が少しだけ楽
になるので、t での積分区間が 0→β-α になるように、
逆昇って、t = x-α と置換したのです。

回答No.3

noname#125931

xがaからbに増加するときt=x-aは0からb-aに増加するからです。
-(b-a)と書くのは、積分の値にb-aの項が現れることを予期してではないですか。

回答No.2

info22_

>(x-α)^2 (x-β)＝(x-α)^2（x-α+α-β)＝(x-α)^3 -(β-α)(x-α)^2
>として積分すれば -(β-α)^4/12となるとありました。
>の仕方が理解できません。
>どのような操作を行っているのでしょうか？

これと言ったことは何もしてませんよ。
前の(x-α)の項に注目し、後の(x-β)から(x-α)の項を作っているに過ぎません。

(x-β)=(x-α+α-β) ←　(x-α)の項を作る為にαを引いてαを加える。
(x-β)=(x-α)-(β-α)

両辺に(x-α)^2を掛けると
(x-α)^2 (x-β)=(x-α)^3 -(β-α)(x-α)^2

と出てきます。

>部分分数分解的な操作なのでしょうか？？？
的外れ！
なぜ (x-α)の項を作るかと言えば後の積分計算のことを考えて、積分を簡単にできるようにするための操作です。
計算は絶えず先のことを考えて変形する余裕を持ちたいですね。

>∫[α～β]（x-α)^3-(β-α)(x-α)^2dx　はどのように積分すれば
良いのでしょうか？

普通に素直に積分するだけでいいです。
分かりづらいなら　x-α=t と置換してみてください。
I=∫[α～β]（x-α)^3-(β-α)(x-α)^2dx
=∫[α～β]（x-α)^3 dx -(β-α)∫[α～β]（x-α)^2dx
=[(x-α)^4/4](x=β)-[(x-α)^3/4](x=α)
-(β-α){[(x-α)^3/3](x=β)-[(x-α)^3/3](x=α)}
=[(x-α)^4/4](x=β) -(β-α)[(x-α)^3/3](x=β)
={(1/4)-(1/3)}(β-α)^4
=-(1/12)(β-α)^4

>仮にxが2次式以上であれば、やはり置換した方が無難でしょうか？
必ずしもそうとは限りません。
経験を積んで先の計算を見通して積分が簡単になるのであれば置換も有りですが、簡単にならないのであれば闇雲に置換しても意味が有りません。無駄な置換であれば減点される可能性も無きにしもあらずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.1

noname#125931

最初の=ではx-βをx-α+α-βと書き直した。
次の=では(x-α)^2をx-αとα-βのそれぞれに掛けた（分配律）。
積分するにはt=x-αと変換すると被積分関数が簡単な形になりtに関する積分区間が[0,β-α]となるため楽だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

補足

ご回答ありがとうございます。
操作自体は理解出来ました。ありがとうございます。
なぜ、(x-α)^3+(α-β)(x-α)^2ではなく、
(x-α)^3-(β-α)(x-α)^2としたのでしょうか？

積分に関しては、置換積分を使った方が簡単そうですね。積分範囲はa→bが、なぜ0→β-αとなるのでしょうか？