積分がわかりません

質問

いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。
まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり
2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。

次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。

次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。
分母が２つの掛け算ならば部分分数にできるのですが３つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。

次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。

最後に、これが一番聞きたいことなんですが
(1/cosx)dxの積分です。
分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。
sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。
部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。
よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね？？
でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。
どこが間違ってるのかわかりません。

以上長いですが教えていただけたら幸いです。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

順に:
2t×log(1+t) で部分積分
t = sin x とおいて置換積分
1/[x(1-x)(1+x)] = a/x + b/(1-x) + c/(1+x) と部分分数に分解
同じく 1/[x(x^2 - x + 1)] = a/x + (bx +c)/(x^2 - x + 1) と部分分数に分解
log の真数の分子と分母に 1 + sin x を掛けてみる

補足

回答ありがとうございます。
最初の問題の部分積分ですが、自分もやってみましたがどうもきれいになりません。
どうやればいいんですか？？

回答No.3

zk43

長いので最後だけ。
|(1+sinx)/(1-sinx)|の分子・分母に1+sinxを掛けると
|(1+sinx)^2/(cosx)^2|=|(1+sinx)/cosx|^2
となるので、logの前に掛かっている1/2をlogの中に入れると、
log|(1+sinx)/cosx|になる。

回答No.2

debut

＞最初の問題の部分積分ですが、

　∫2tlog(1+t)dt=t^2log(1+t)-∫{t^2/(1+t)}dt
　　　　　　　　（t^2を1+tで割って）
　　　　　　　　=t^2log(1+t)-∫{(t-1)+1/(1+t)}dt
　　　　　　　　=・・・・
　となりますね。

お礼

なるほど。
ありがとうございました ！！