積分の問題

質問

積分でわからない問題があります．
(1)∫1/(a-sin x)dx (a>1)
(2)∫[0,1](arcsin x)/√(1-x) dx

(1)はsinx=tなどと置換してみましたが，複雑な式が出てくるばかりで解答の糸口が見えませんでした．
(2)は部分積分によって出てきた項（1/{(1-x)√(1+x)}）が積分できません．また，積分後もどのように解いていけばよいのかが不明です．

アドバイスをお願いします．

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

t=tan(x/2)

dt=(1/2)(1+(t^2))dx
dx=(2dt/(1+(t^2)))
sinx=(2dt/(1+(t^2)))

P=∫(1/(a-sinx))dx
=∫(1/(a-(2t/(1+(t^2)))))(2dt/(1+(t^2)))
=∫(2dt/((a(1+(t^2))-2t)
=2∫dt/[a((t-(1/a))^2)+(((a^2)-1)/a)]
=(2/a)∫dt/[((t-(1/a))^2)+(((a^2)-1)/(a^2))]

　　((√((a^2)-1)/a)tanT)=(t-(1/a))
　　tanT=[((t-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))]
　　dT[(√((a^2)-1)/a)(1+((tanT)^2))]=dt

=(2/a)∫dT[(√((a^2)-1)/a)(1+((tanT)^2))]/[(((√((a^2)-1)/a)tanT))^2)+(((a^2)-1)/(a^2))]
=(2/√((a^2)-1)∫dT
=(2/√((a^2)-1)arctan[((t-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))]
=(2/√((a^2)-1)arctan[((tan(x/2)-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))]
------------------------

P=∫((arcsinx)/√(1-x)) dx
=(arcsinx)(-2)√(1-x)+2∫(√(1-x))(1/ √(1-(x^2)))dx
=(arcsinx)(-2)√(1-x)+2∫(1/ √(1+x))dx
=(arcsinx)(-2)√(1-x)+4√(1+x)

(arcsinx)(-2)√(1-x)+4√(1+x) [0,1]
=(0+4√2)-(0+4)=4(√2)-4
----------------------

お礼

詳解をありがとうございます．
(2)は難しく考えすぎていたようです．

回答No.1

imopro

(1)のみですが．
三角関数が出てきた場合の定石は，t=tan(x/2)と置くことです（高校の参考書や大学の教科書・参考書には載っているはずです）．
この場合，sinx=2t/(1+t^2),dx={2/(1+t^2)}dxとなります．
これを用いると，元の積分（Iとします）は，
I=2/(at^2-2t+a) dt　となります．

あとは，分母を平方完成してやると，もう一回置換をする事になります．色々計算すると，恐らくIは以下のようになると思います．
I=-2/{√(a^2-1)}*Arctan[{1-atan(x/2)}/{√(a^2-1)}]

お礼

t=tan(x/2)の置換，すっかり忘れていました．
とても参考になり解決しました．ありがとうございました．