積分 部分分数分解

質問

積分　部分分数分解

積分　部分分数分解

∫[0～1]（3ｘ-1）/（（ｘ+1）（x^2+1））dxを求めよ。

回答を読んでも理解できないので教えて下さい。

添付画像の2段目の2x+1/（x^2+1）=（x/（x^2+1））+（1/（x^2+1））
が理解できません・・・
回答が間違っているのでしょうか？

昨日部分分数分解で質問させていただきましたので、そちらのURLも載せておきます。
http://okwave.jp/qa/q5809154.html

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

じ～っと見ればわかりますが,
2x+1/（x^2+1）=（x/（x^2+1））+（1/（x^2+1））
とはしていません.
でも, なんで 2 を出しちゃうかなぁ.

補足

あーーーーっ！！
理解できました。
2x+1を分解しただけですね。部分分数分解ばかり考えていたので気づきませんでした・・・

ところで、
3x-1/（ｘ+1）（x^2+1）=（a/（ｘ+1））+（b/（ｘ+i））+（c/（ｘ-i））
と部分分数分解できないのでしょうか？
こうすると答えに虚数が出てきてしまうのですが・・・

回答No.5

178-tall

>　(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} = (3x-1)/{(x+1)(x+i)(x-i)} = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)

この問題に限れば、
　a = (3x-1)/(x^2+1)|_x=-1 = -4/2 = -2
を求めたあと、
　(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} - a/(x+1) = (Bx+C)/(x^2+1)
と勘定できる。

…ので、お試しを。

回答No.4

178-tall

試しに…。

　(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} = (3x-1)/{(x+1)(x+i)(x-i)} = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)

両辺に (x+i) をかけて、x = -i を代入すると、
　(-3i-1)/{(-i+1)(-2i)} = (1-2i)/2 = b
両辺に (x-i) をかけて、x = i を代入すると、
　(3i-1)/{(i+1)(2i)} = (1+2i)/2 = c
　　　↓
b, c は互いに共役な複素数 (虚数と書いたのはミスでした) 。
　　　↓
b/(x+i) + c/(x-i)　が実係数の有理式になることを確かめてみて…。

補足

何度も親切にご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳御座いません。

>この問題に限れば、
>a = (3x-1)/(x^2+1)|_x=-1 = -4/2 = -2
>を求めたあと、
>(3x-1)/{(x+1)(x^2+1)} - a/(x+1) = (Bx+C)/(x^2+1)
>と勘定できる。
ご回答のやり方が一番近道でミスが無いように思いました。ありがとうございます。

>b/(x+i) + c/(x-i)　が実係数の有理式になることを確かめてみて…。
有理式にできませんでした・・・

回答No.3

Tacosan

理屈だけでよければ,
(3x-1)/[(x+1)(x^2+1)] = a/(x+1) + b/(x+i) + c/(x-i)
から右辺の原始関数を
a log(x+1) + b log(x+i) + c log (x-i)
とすることはできます.
ただし, このまま「x に 0 を代入して～」とかやっちゃうと面倒な感じがします. 複素積分として気をつけて扱えばできそうだけど, それよりは分母を 2次のまま残しておいた方が安全だと思います.
前のときに上の形の分解を見せたのは, 実はその後で複素数の出ない形 (つまり上の後ろ 2つの項をまとめた形) にすることを想定してます.

補足

ご回答ありがとうございます。虚数を利用するのは得策とは言えないようですね。
地道に係数比較を行って解いたほうが近道のようです。
ところで、部分分数分解の原則として、分解して得られる分数において、
「分子の次数が分母の次数より1だけ低い形」と以前ご回答頂いたのですが、
例えば、（（（3X^2）+1）/（1+X）（1+X^2））のような関数は部分分数分解出来ないのでしょうか？
また、この関数を積分する方法はどういった方法なのでしょうか？

回答No.2

178-tall

>ところで、3x-1/（ｘ+1）（x^2+1）=（a/（ｘ+1））+（b/（ｘ+i））+（c/（ｘ-i））
と部分分数分解できないのでしょうか？

できます。
b, c が互いに共役な虚数になります。
お試しを！