積分の問題で質問です。

質問

不定積分∫dx/(x^4+4)を求めよ、という問題です。

部分分数分解して、
∫{(-x/8+1/4)/(x^2-2x+2)+(x/8+1/4)/(x^2+2x+2)}dx
の形に変形したのですが、とりあえず(-x/8+1/4)/(x^2-2x+2)だけ見て、
(-x/8)/(x^2-2x+2) + (1/4)/(x^2-2x+2)
と分解して、片方ずつ積分しました。ここで、

∫(-x/8)/(x^2-2x+2)dx (x^2=tと置く置換積分を利用しました)
=-1/16∫dt/(t-2√t+2)
=-1/16∫dt/{(√t-1)^2+1}
=(-1/16)*arctan(√t-1)
=(-1/16)*arctan(x-1)

∫(1/4)/(x^2-2x+2)dx
=1/4∫dx/{(x-1)^2+1}
=(1/4)*arctan(x-1)

となりました。(x/8+1/4)/(x^2+2x+2)の積分も同様に解きました。
この解き方だと答えにlogは出てきませんが、解答を見るとlogが入ったものとなっていました。一応、別の方法でその解答の形までたどり着けたのですが、上で説明したやり方が間違っているとは思えません。この解法は合っていますか？それとも間違っているのでしょうか。　どなたか教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

補足します。
間違いの原因は
>(x^2=tと置く置換積分を利用しました)
このような置換はする意味がないので通常しません。
この置換を行ったため、間違いを起こしてしまったのでしょう。
>=-1/16∫dt/{(√t-1)^2+1}
>=(-1/16)*arctan(√t-1)+C …(■)

この(■)ような積分になる場合は
-1/16∫{(√t-1)'}dt/{(√t-1)^2+1}
=-1/16∫{1/(2√t)}dt/{(√t-1)^2+1}＋C
のような合成関数の積分の形である場合です。
このうちの{(√t-1)'}の微分項を無視したことが間違った原因ですね。

置換積分は通常「t=x-1」と置換して行います。
部分分数分解して、
∫{(-x/8+1/4)/(x^2-2x+2)}dx
=(1/16)∫{(-2x+2+2)/(x^2-2x+2)}dx
=(1/16)∫(2-2t)/(t^2+1)dt
=(1/8)∫dt/(t^2+1) -(1/16)∫(2t)/(t^2+1)dt
=(1/8)arctan(t)-(1/16)log(1+t^2)+C
t=x-1を代入して元の変数に戻すと
=(1/8)arctan(x-1)-(1/16)log(x^2-2x+2)+C
チャンと対数関数logが出てきます。

同様に、t=x+1で置換積分して
∫{(x/8+1/4)/(x^2＋2x+2)}dx
=(1/16)∫{(2x+2+2)/(x^2+2x+2)}dx
=(1/16)∫{(2t+2)/(t^2+1)}dt
=(1/8)∫{1/(t^2+1)}dt+(1/16)∫2t/(t^2+1)dt
=(1/8)arctan(t)+(1/16)log(1+t^2)+C
=(1/8)arctan(x+1)+(1/16)log(x^2+2x+2)+C
こちらも対数関数logが出てきます。

お礼

なるほど！　理解しました。　丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>∫(-x/8)/(x^2-2x+2)dx (x^2=tと置く置換積分を利用しました)
>=-1/16∫dt/(t-2√t+2)
>=-1/16∫dt/{(√t-1)^2+1}
>=(-1/16)*arctan(√t-1)
　↑ここで間違い
正：(-1/16)log(t-2√t+2)/-(1/8)atan(√t-1)

>=(-1/16)*arctan(x-1)
以降、間違い。

>∫(1/4)/(x^2-2x+2)dx
>=1/4∫dx/{(x-1)^2+1}
>=(1/4)*arctan(x-1)
こちらはOK。

>この解き方だと答えにlogは出てきませんが、解答を見るとlogが入ったものとなっていました。
>この解法は合っていますか？それとも間違っているのでしょうか。

質問者さんの単なる計算間違い。解答にはlogが入ります。

正しくないことは、微分してみれば、元に戻らないことからも分かる。
自分で計算間違いしてそれが分からないのは問題（また繰り返すため）
不定積分のチェックは、積分した関数を微分すればもとの被積分関数に戻ることで行うことでエラーが見つかります。