積分 問題

質問

積分 問題

∫(1/(e^x-2))dxを求めなさい。
置換積分では、ダメでした。

どのように解いたら良いでしょうか？何か式変形を行ってから解くのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#140841 · ベストアンサー

合っているかは不明ですが、私は以下のように解きました。

e^x-2=t　とおく。　
e^x=t+2なので、両辺対数をとって、（底はe）

x=log(t+2)　…　(1)

両辺をtで微分すると、
dx=(1/(t+2))dt　…　(2)

(1)、(2)より、
∫(1/(e^x-2))dx
=∫(1/t)*(1/(t+2))dt　…　(3)

ここで、(1/t)*(1/(t+2))を部分分数分解すると、
(1/2)*(1/t-1/(t+2))
なので、

(3)
=(1/2)*∫(1/t-1/(t+2))dt　
=(1/2)[log|t|-log|t+2|]
=(1/2)log|t/(t+2)|+C （Cは積分定数）

したがって、e^x-2=tなので、
∫(1/(e^x-2))dx
=(1/2)log|(e^x-2)/e^x|+C
（=(1/2)log|1-2/e^x|+C)

となる。

置換積分で解きました。

お礼

ご回答ありがとうございます。
e^x=t+2としたのですが、x=log（t+2）としていませんでした。

ご回答頂きました内容で解けました。

ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

すなおに置換積分でしょう？

括弧の書き方が微妙ではあるけれど、
∫{1/(e^(x-2))}dx なら、y = 2-x と置けばよいし、
∫{1/((e^x)-2)}dx なら、y = e^x と置けばよい。

= ∫{1/((y^2)-2y)}dy になっても尚解らないなら、
被積分関数を部分分数分解してみてください。