積分の問題です。

質問

５X＋２/(X-1)(X^２-３X＋４)を積分するのですが、部分分数の和に分解し、A/X-1+BX + C/X^2-3X+4とAとBを使っておく事ができ、Aが７/2 Bが-7/2 Cが１２となるのですが、この後、本に書いてある回答が理解できず、教えてほしいのですが、
∫ｆ（ｘ）＝7/2∫1/x-1 dx-7/4∫2x-3/x^2-3x+4 dx+27/4∫1/x^2-3x＋4 dx
とあるのですが、何がどうなっているのかよく分からないんです。どなたか数学に詳しい方教えてください。お願いします。

回答No.5

Rossana · ベストアンサー

☆#3の補足回答
＞Bが-7/2 Cが１２となるのですが
ということですので，
(Bx+C)/(x^2-3x+4)
={(-7/2)x+12}/(x^2-3x+4)
={(-7/4)2x+12}/(x^2-3x+4)
={(-7/4)(2x-3+3)+12}/(x^2-3x+4)
=(-7/4){(2x-3+3)-48/7}/(x^2-3x+4)
=(-7/4){(2x-3)-27/7}/(x^2-3x+4)
=(-7/4)(2x-3)/(x^2-3x+4)+(27/4)/(x^2-3x+4)
と変形できます．

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。本当によく分かりました。感謝感激雨あられです。

回答No.4

noname#24477

Bx+c　を　D(2x-3)+E　の形に変形します。
そのためには2x-3で割り算をするのが簡単でしょう。

なぜそう変形するかは＃１の方のヒントの通りです。

それから分数はもっとカッコを使うのがいいでしょう。
ネットでのお約束です。

例
（５X＋２）/(X-1)(X^２-３X＋４)

1/（x^2-3x＋4）

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

Rossana

#2で計算ミスです．ミスばかりですいません．
∫[1/(x^2-3x＋4)]dx=∫[1/{(x-4)(x+1)}]dx
は間違いです．こんなふうに因数分解できません．

∫[1/(x^2-3x＋4)]dx=∫[1/{(x-3/2)^2+7/4}]dx
x-3/2=(√7/2)tanθと置いて置換積分．
に訂正して下さい．

補足

例えば、質問の文章の中の27/4はなんででてくるのですか？？

回答No.2

Rossana

#1の式を訂正して下さい．絶対値にしていなかったですね．
∫[1/(x-1)]dx=log|x-1|+C_1
∫[(2x-3)/(x^2-3x+4)]dx=log|x^2-3x+4|+C_2

あと/のあとで分母になるものには()で括って書いて下さい．
∫[1/(x^2-3x＋4)]dx=∫[1/{(x-4)(x+1)}]dx
また，部分分数の和に分解する．

回答No.1

Rossana

ヒント
(x-1)'=1
(x^2-3x+4)'=2x-3
∫(1/x)dx=log x+C_1
∫(2x-3)/(x^2-3x+4)=log(x^2-3x+4)+C_2
(C_1,C_2は積分定数)
分からなかった補足下さい．