積分の問題について

質問

∫x/(x^2-x+1)dx

という問題です。部分分数に分解して積分しようとしても
解答と一致しなかったので正答をどなたか教えていただきたいです。
できるだけ置換は使いたくないです。

回答No.2

akinomyoga · ベストアンサー

部分分数分解で解けないことはないですが途中で複素数の log などが出てくるので、高校の範囲で使って良い計算方法かはわかりません。一応、部分分数分解で解いた場合を書きます:

----- 解答例 -----
被積分関数を部分分数分解すると、
　x/(x^2-x+1) = a/(x-α) + a^*/(x-α^*),
　ただし α = (1+√3 i)/2, a = α/(α-α^*) = 1/2 - (1/2√3) i.
積分すると、
　∫ (x/(x^2-x+1)) dx
　= a ln(x-α) + a^* ln(x-α^*) + C
　= 2 Re[a ln(x-α)] + C
　= 2 ((1/2) ln |x-α| -(1/2√3) arg(x-α)) + C
　= (1/2) ln (x²-x+1) - (1/√3) arctan(√3/(2x-1)) + C',
　ただし途中の C, C' は積分定数.
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★ ln(複素数) (※ln は自然対数"n"atural "l"ograithm) について
複素数αについて極形式 α = |α| exp(i arg α) を考えれば、
　ln α = ln|α| + i arg α
となります。

★複素数まで考えた時の不定積分 ∫ dx/x について
　∫ dx/x = ln x + C, (C は積分定数)
です。ところで、特に実数 x の場合に限って考えると、
　ln x = ln|x|, (x>0 のとき), log|x|+iπ (x<0 のとき)
となりますが、この iπ は定数なので積分定数 C に吸収させることができて、見慣れた
　∫dx/x = ln|x| + C, (C は積分定数), (x(≠0)が実数のとき)
の形にできます。(一般の複素数の場合は arg は定数にはならないので積分定数に吸収はできず、したがって ln|x| のような単純な形にはできません)。

回答No.1

bran111

これは部分積分でうまくいく例ではない。置換に次ぐ置換を行っていく必要がある。それが嫌ならあきらめたほうがよい。

補足

やっぱり置換でないと解けない問題するのですかね((+_+))