置換積分

質問

おそらくは置換積分の問題だと思うのですが、
∫x/(1+x^4)dx (積分範囲[0,1])
をどう置換していいかわからないのです。
1+x^2の形はtanθ、1-x^2の置換はsinθで置くというのは定石ですが、このように次数が大きい場合はどうすればよいのでしょうか。
部分分数展開も分母が1+x^4では使いにくいですし、なにかよい方法があれば教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.4

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

ぱっと見で、x^2 = p などとおくとうまくいきそうではないですか？

微分して、

2 x dx = dp

になりますので、分子にあてはまります。

分母は、1+x^4 = 1 + p^2 になるので、x=0でp=0、x=1でp=1に注意して、

∫_0^1 x/(1+x^4) dx = ∫_0^1 1/(1+p^2) dp/2

と変形できます。

この積分はご存知なのですよね。

p=tanθとおいて、

∫_0^{π/4} 1/(1+tan^2θ) dθ/2cos^2θ　= ∫_0^{π/4} dθ/2 = π/8

になります。

回答No.3

kkkk2222

>>x/(1+(x^4))

(x^4)+1
=(x^4)+2(x^2)+1-2(x^2)
=[{(x^2)+1}^2]-2(x^2)
={(x^2)+(√2)x+1}{(x^2)-(√2)x+1}

P=x/{(x^2)-(√2)x+1}{(x^2)+(√2)x+1}

(2√2)P=[1/{(x^2)-(√2)x+1}]-[1/{(x^2)+(√2)x+1}]

*************

　　{(x^2)-(√2)x+1}=[{x-(√2)/2}^2]+(1/2)

(1/√2)tanT={x-(√2)/2}
　(1/2){(tanT)^2}={x-(√2)/2}^2
　　(1/2){(tanT)^2}+(1/2)=[{x-(√2)/2}^2]+(1/2)

(1/√2)tanT={x-(√2)/2}
　(1/√2)[{(tanT)^2}+1]dT=dx

(1/√2)tanT={x-(√2)/2}
　tanT=√2{x-(√2)/2}
　　T=arctan[√2{x-(√2)/2}]

**　∫[1/{(x^2)-(√2)x+1}]dx
=(1/√2)∫[{(tanT)^2}+1]dT/[(1/2){(tanT)^2}+(1/2)]
=√2∫dT
=√2T
=√2arctan[√2{x-(√2)/2}]

　同様に、

**　∫[1/{(x^2)+(√2)x+1}]dx
=√2arctan[√2{x+(√2)/2}]

(2√2)P=√2arctan[√2{x-(√2)/2}]-√2arctan[√2{x+(√2)/2}]
　2P=arctan[√2{x-(√2)/2}]-arctan[√2{x+(√2)/2}]
　2P=arctan[(√2)x-1]-arctan[(√2)x+1]

**************
A=arctan[(√2)x-1],,,,B=arctan[(√2)x+1]
tanA=(√2)x-1,,,,,,,,,,,,,,tanB=(√2)x+1
tanA+1=(√2)x,,,,,,,,,,,,tanB-1=(√2)x
＃ tanA+1=tanB-1
　　tanB-tanA=2
＃＃ (tanA+1)(tanB-1)=2(x^2)
　　　　tanAtanB+(tanB-tanA)-1=2(x^2)
　　　　tanAtanB+2-1=2(x^2)
　　　　tanAtanB+1=2(x^2)
＃＃＃tan(B-A)=(tanB-tanA)/(1+tanAtanB)
　　　　　tan(B-A)=2/2(x^2)
　　　　　tan(B-A)=1/(x^2)
　　　　B-A=arctan(1/(x^2))
　　(π/2)-(B-A)=arctan(x^2)
　　　　A-B+(π/2)=arctan(x^2)

arctan[(√2)x-1]-arctan[(√2)x+1]=(arctan(x^2))-(π/2)
***************
P=(1/2)arctan(x^2)+C

(1/2)arctan(x^2)[0,1]
=(1/2)(π/4)=π/8

回答No.2

noname#56760

x=√tantとおくと
dx/dt=1/{(2√tant)cost^2}
x|０→１
t|０→π/4

あとはtanｔの積分になると思います。

回答No.1

Ruble

1+x^4 を 1+x^2 と 1-x^2 を用いてあらわしてみましょう。数字は足し引きの結果が同じであれば問題ないですから。

何かの二乗をまずは考えることですね(^-^)

がんばってください(^_-)