この積分って？？

質問

広義積分なんですけど部分分数分解ができない。
ほかに手段はありませんか。

∫ from 0 to ∞, 1/(x^4+1) dx

です。お願いします。

回答No.6

LHS07

基本的な問題ですので例題を何回も読めばわかると思いますが・・・。

回答No.5

maiuumaiuu

部分分数分解できます.
分母は
x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2
=(x^2+1+√2 x)(x^2+1-√2 x)
と因数分解できます.
後は
1/(x^4+1)
=(ax+b)/(x^2+√2 x +1)
+ (cx+d)/(x^2 -√2 x +1)
とおいて未定係数法で a, b, c, d を求めます.

もちろん関数論を使ったほうが楽ですが.

回答No.4

pyon1956

つっこみでもうしわけないのですが・・・・・
特異点はz^4=0ではなくてz^4=-1をみたすzで、第一象限のはz=(1+i)/√2ですね。あとは#1～３の方の仰るように。

回答No.3

yoo_20052005

たびたび申し訳ないです（恥ずかしい…）
NO.2は無視してください。
f(x)=1/(x^4+1)は偶関数なので-∞から+∞までの積分をNO.1の通りに計算していけばOKです。失礼いたしました。

回答No.2

yoo_20052005

NO.1を投稿したものですが、少し訂正します。
∫_(上半平面)1/(z^4+1)dz
ではなくて
∫_{第一象限}1/(z^4+1)dz
ですね。ちなみに第一象限ないには特異点は一位の極が一つのみです。よってそこ点での留数を計算すれば答えはすぐに出ます。

回答No.1

yoo_20052005

関数論はご存知ですか？留数定理に持ち込めば計算できます。まずは特異点を求めましょう。つまり
z^4=0
をみたすz (複素数)を求めましょう。これは4つあります。
そこで∫_(上半平面)1/(z^4+1)dzを留数定理を用いて計算することにより、答えを導けます。

これは複素積分を利用して解く方法ですが、もっと他にも置換等で解けるのかもしれません。