数III 定積分の問題です。

質問

∫0^1 (x-1)/(2-x)^2dx
置換積分法でお願いします。
出来れば途中式もお願いします。

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

2 - x = t と置くと x = 2 - t なので
　　　dx = -dt
　　　x - 1 = 1 - t
　　　積分範囲は x = 0 ～1 → t = 2 ～ 1
したがって
∫[ 0 ～ 1 ] ( x - 1 )/( 2 - x)^2 dx
　　　= ∫[ 2 ～ 1 ] -( 1 - t )/t^2 dt
　　　= ∫[ 2 ～ 1 ] ( t - 1 )/t^2 dt
　　　= (1/2)*∫[ 2 ～ 1 ] 2*t/t^2 dt - ∫t^(-2) dt
　　　= [ (1/2)*log| t^2 | + t^(-1) ] [ 2 ～ 1 ]
　　　= [ log| t | + 1/t ] [ 2 ～ 1 ]
　　　= ( log| 1 | + 1/1 ) - ( log| 2 | + 1/2 )
　　　= 0 + 1 - log2 - 1/2
　　　= 1/2 - log2

お礼

早い回答ありがとうございます。
本当に助かりました。

回答No.2

noname#154783

被積分関数の分母をyと置きます：
y = (2 - x)^2 = (x - 2)^2

y' = dy/dx = 2(x - 2) = 2x - 4.

そこで，被積分関数の分子に無理やり2x - 4を作り出します：

x - 1 = (1/2) (2x - 2) = (1/2) {(2x - 4) + 2} = (1/2) (2x - 4) + 1.

そうすると，被積分関数は次のようになります：

(x - 1)/(2 - x)^2
= (1/2) (2x - 4)/(x - 2)^2 + 1/(x - 2)^2.

∫[0,1] (x - 1)/(2 - x)^2 dx
= (1/2) ∫[0,1] (2x - 4)/(x - 2)^2 dx
+ ∫[0,1] dx/(x - 2)^2.

第1項の積分：
∫[0,1] (2x - 4)/(x - 2)^2 dx
= ∫[0,1] y'/y dx
= ∫[4,1] dy/y
= log 1 - log 4
= -2log 2.

第2項の積分：
z = x - 2
と置くと，
dz = dx

∫[0,1] dx/(x - 2)^2
= ∫[-2,-1] z^(-2) dx
= [-1/z][-2,-1]
= 1 - 1/2
= 1/2.

以上より
∫[0,1] (x - 1)/(2 - x)^2 dx
= (1/2) ∫[0,1] (2x - 4)/(x - 2)^2 dx
+ ∫[0,1] dx/(x - 2)^2
= 1/2 - log 2.

お礼

no1の方とは別の解法をとても丁寧に教えて頂きありがとうございます。
解き方の選択肢が広がりました。