積分 問題

質問

積分　問題

∫（x^2）/（1+x^2）^2dxについて
∫（x^2）+1-1/（1+x^2）^2dxとして
∫1/（1+x^2）dx-∫1/（1+x^2）^2dx
∫1/（1+x^2）dxは（tan^-1（ｘ））と解けるのですが、
∫1/（1+x^2）^2dxが解けません・・・
(1+x^2)=tと置いたりしましたが上手くいきません。
部分分数分解も考えましたがよく分からない状況です。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足について
>>{x/(1+x^2)}'=1/(1+x^2)-2x^2/(1+x^2)^2 …(A) なので
↑これは x/(1+x^2) を微分しただけ。
「{ }'」は｛ ｝内の微分することを表します。
単なる分数関数の微分公式を適用すればいいでしょう。
{x/(1+x^2)}'=(x)'/(1+x^2)+x{1/(1+x^2)}'
=1/(1+x^2)-2x^2/(1+x^2)^2

>>x^2/(1+x^2)^2=(1/2)/(1+x^2)-(1/2){x/(1+x^2)}'…(B)
↑（A)の式の右辺の第２項
2x^2/(1+x^2)^2
に求めたい積分の被積分関数「x^2/(1+x^2)^2」がありますので
その項を左辺に移項し、他を右辺に移項すれば(B)になります。

>>上の操作は部分分数分解ですか？
部分分数展開ではありません。
（A)から（B)への計算自体は中学生レベルと思います。

>>なぜ上のようになるのでしょうか？
単に移項して２で割っただけ。

>部分積分を利用しているのでしょうか？
使っていません。

>両辺積分して
文字通り、（B)の両辺を項別に積分しているだけ。

>>∫x^2/(1+x^2)^2dx=(1/2)∫1/(1+x^2)dx-(1/2)x/(1+x^2)
↑の右辺の第一項はあなたが質問の中で
>∫1/（1+x^2）dxは（tan^-1（ｘ））と解けるのですが、
求めて見えますね。

右辺の第二項は
(B)の「-(1/2){x/(1+x^2)}'」の積分ですから{ ｝'の微分操作が
積分することで、微分前の元の「-(1/2)x/(1+x^2)」に戻りますので
>>=(1/2)(tan^-1(x))-(1/2)x/(1+x^2)+C
となります。

>部分積分を利用しているのでしょうか？
部分積分などではありません。
単に、第一項の積分は、質問者さんのやられている積分結果を適用し、
第二項は微分操作{ }'が積分で{ }'の操作がなくなって{ }内に戻るだけ。
（微分と積分は逆の関係だという基本的なことを覚えておいてください。）

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。ご丁寧に本当にありがとうございます。

{x/(1+x^2)}'=(x)'/(1+x^2)+x{1/(1+x^2)}'
=1/(1+x^2)-2x^2/(1+x^2)^2
x^2/(1+x^2)^2=(1/2)/(1+x^2)-(1/2){x/(1+x^2)}'
教えて頂いた解き方は初めてだったのですが、この
方法はどのような問題の場合に有効なのでしょうか？

回答No.2

LightOKOK

∫1/（1+x^2）^2dxが解けません・・・

x=tanθ　とおくと、
I=∫1/（1+x^2）^2dx
=∫(cosθ)^2dθ
=∫(1/2)(1+cos2θ)dθ
=θ/2+(1/4)sin2θ+C
=(1/2)arctan(x)+(1/2)x/(1+x^2)^2+C

お礼

ご回答ありがとうございます。
=（θ/2）+(1/4)sin2θまでは分かりました。
(1/4)sin2θが(1/2)x/(1+x^2)^2への変換が分かりません・・・

補足

(1/4)sin2θが(1/2)x/(1+x^2)^2への変換が分からないので、教えていただけませんか？
ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

info22_

{x/(1+x^2)}'=1/(1+x^2)-2x^2/(1+x^2)^2
なので
x^2/(1+x^2)^2=(1/2)/(1+x^2)-(1/2){x/(1+x^2)}'
両辺積分して
∫x^2/(1+x^2)^2dx=(1/2)∫1/(1+x^2)dx-(1/2)x/(1+x^2)
=(1/2)(tan^-1(x))-(1/2)x/(1+x^2)+C

お礼

ご回答ありがとうございます。
>{x/(1+x^2)}'=1/(1+x^2)-2x^2/(1+x^2)^2なので
>x^2/(1+x^2)^2=(1/2)/(1+x^2)-(1/2){x/(1+x^2)}'
上の操作は部分分数分解ですか？なぜ上のようになるのでしょうか？

>両辺積分して
>∫x^2/(1+x^2)^2dx=(1/2)∫1/(1+x^2)dx-(1/2)x/(1+x^2)
>=(1/2)(tan^-1(x))-(1/2)x/(1+x^2)+C
部分積分を利用しているのでしょうか？