√に入った式を絶対値で表わす

質問

宿題をやっているのですが、わからないところがあるので解説していただきたいです。

(1)√(x-4)^2
(2)√(2x-3)^2

を絶対値記号を用いて表せ。

という問題なんですが
答えは

(1)|x-4|
(2)|2x-3|

ですが
いまいち考えてもピンときません…

ご暇なときに解説してもらえると助かりますm(_ _)m

回答No.1

tsukita · ベストアンサー

こんばんわ。ご質問は、高校数学の壁の１つ（数学がわからなくなる／嫌いになる原因の１つ）のような気がします。

これを理解するには、
１）　絶対値を理解して
２）　平方根を理解して
そして、そう考えると、
３）　絶対値と平方根は同じように表せるじゃないか！
という段階を経て理解することが定石だと思います。

以下、説明に挑戦してみますので、良かったら読んでみてください。

１）絶対値について

※「絶対値」とは、数直線において原点からの距離をいう。

具体例で考えましょう。
例えば、
｜３｜＝３
｜７｜＝７
｜０｜＝０
｜－３｜＝３
｜－７｜＝７
が成り立つ。

ここで注目して欲しいのは、絶対値記号の中身が正の数（３とか４とか）であれば、絶対値（｜３｜、｜４｜）の値は、絶対値記号で囲んだ数字そのもの（３、４）だということです。
つまり、次が成り立ちます。

｜ｘ｜＝ｘ　（ｘが正の数だったら）

次に、絶対値記号の中身が負の数（－３や－４）の場合はどうでしょうか？この場合、絶対値（｜－３｜、｜－４｜）の値は、マイナスが外れた数（３、４）となっていることがわかりますか？
さて、ここでマイナスの数－３や－４からマイナスの数を外す操作を式で表すことはできないでしょうか？
ここで威力を発揮するのが、マイナス×マイナスはプラスになるという性質です。
－（－３）＝３
－（－４）＝４
というように、マイナスの数ｘに対して、－ｘを考える（マイナス１をかける）ことで、
【－○　という数から　○　の部分だけを取り出す】ことができました。

従って、次のことが言えます。

｜ｘ｜＝－ｘ　（ｘが負の数だったら）

以上のことをまとめると、次がわかりました。

｜ｘ｜の値は、
ｘ＞０　ならば　ｘ　　・・・・（１）
ｘ＜０　ならば　－ｘ　・・・・（２）

最後に、正でも負でもない数０についてですが、
これは、
・ｘ＝０のとき、｜ｘ｜＝ｘ
・ｘ＝０のとき、｜－ｘ｜＝－ｘ　（－０＝０なので）
と、どちらも成り立つので（１）（２）どちらの方に入れてもいいということになります。それで、どっちでもいいんですが、教科書などでは普通は（１）に入れることが多いです。

これで絶対値について、高校生レベルの理解ができました。つまり、絶対値については次を理解しておきましょう。

｜ｘ｜　＝　　ｘ　　（ｘ≧０のとき）
　　　　＝　－ｘ　（ｘ＜０のとき）

２）　平方根について

続いて、２）の平方根について考えましょう。
平方根については、絶対値の考え方が理解できれば、理解するのが楽だと思います。

√ｘ　とは、２乗してｘになる数のうち正の数をいう。

具体例を見ます。
√３^２　＝　√９　　＝３
√４^２　＝　√１６　＝４

√０^２　＝　√０　　＝０

√（－３）^２　＝　√９　　＝３
√（－４）^２　＝　√１６　＝４

以上のことから、√ｘ＾２について、次が成り立つことがお分かり頂けますか？

√ｘ^２　＝　　ｘ　（ｘ≧０のとき）
　　 　　＝　－ｘ　（ｘ＜０のとき）

（絶対値の考え方と似ていますよね？）

３）　最後に、絶対値と平方根を見比べてみましょう。

｜ｘ｜　＝　　ｘ　　（ｘ≧０のとき）
　　　　＝　－ｘ　（ｘ＜０のとき）

√ｘ^２　＝　　ｘ　（ｘ≧０のとき）
　　 　　＝　－ｘ　（ｘ＜０のとき）

すると、絶対値も平方根もｘ≧０のときとｘ＜０のときで場合わけされていて、しかも値まで一致していますよね？
ですので、実は次がいえるのです。

｜ｘ｜　＝　√ｘ^２　★これが理解できれば、高校数学の壁を１つ突破

以上がわかれば、

(1)√(x-4)^2　＝　｜x-4｜
(2)√(2x-3)^2　＝　｜2x-3｜

ですね！

お礼

いやホントに詳しく書いてあってありがたいです!!
とてもよくわかり合点が合いましたありがとうございます。!