絶対値

質問

A=lt-1l+lt-3l
を簡単にせよという問題をやっています。

絶対値の概念はわかっているのですが、この問題の解説を読んでもぴんと来ません。教えてください。

ちなみに、lx-3l=5 が X=-2,8ということになるのはわかります。

『数学IA の点数が面白いほど取れる本』というのを読んでいます。

回答No.4

again1212

l5lは5ですよね？これは絶対値の記号そのままとったものが答えです。
l-3lは3ですよね？これは絶対値の記号をとって、-1をかけたものが答えになります。
絶対値がある問題で厄介なのは、絶対値の中身が正か負かによって外し方が異なることです。
中身が正ならそのまま外して、負なら-1をかけて外します。

この問題では、中身がt-1とt-3という、どちらも文字が中に入ってます。絶対値は中身が正か負かによって外し方が変わるのに、t-1もt-3も正か負かわかりません。tが入っていて、しかもそのtの範囲がわからないからです。
だからそのままはずせばよいか、-1をかけて外せばよいのかがわからないんです。

そのために場合分けをするんです。
lx-3l=5のような絶対値が一つしかついてない問題は、その絶対値をそのままはずすか-1をかけてはずすかの2通りしかありません。
ですから x-3=±5　というように±で表せて場合分けする必要はないわけですが、このような絶対値が２つついている場合はそのようにはいきません。

そこで、t-1とt-3という値が、tの値によってどのように変わるかを調べます。
t-1というのは、t=1のときに値は0になります。だから、t-1というのはtが1より大きいときは正で、1より小さいときは負になるのです。
同様に、t-3というのはt=3のときに値は0になります。だから、t-3というのはtが3より大きいときは正で、3より小さいときは負になります。

これをまとめると、
lt-1lは、　t≧1 のとき　t-1 （中身は正になるからそのまま外す）
　　　　　 t≦1 のとき　-t+1（中身は負になるからー1をかけて外す）

lt-3lは、　t≧3 のとき　t-3
　　 　　 t≦3 のとき　-t+3

となります。ちなみに＞,＜ではなく全部≧、≦というようにイコールがついているのは絶対値の中身が０になるときも成り立つからです。
というのは、t=1のときは絶対値の中身が t-1 = 1-1 = 0 となって、0になります。中身が０の時は、そのまま外してもー1をかけて外しても同じ０となるので、すべての場合で成り立つわけです。

今度はさっきの場合分けを一つにまとめなくてはなりません。まとめると、t≦1のとき、1≦t≦3のとき、3≦tのとき、というようになります。１と３しかないわけですから、そりゃ１より小さいか、１と３の間にあるか、３より大きいかしかないわけです。
後はそれぞれの場合で絶対値をはずしていけば答えはでます。

回答No.3

OmMichael

もう絶対値が出てきたらその時点で
「絶対値の中身の前後で場合を分ける」
というのを癖として身に着けてください。
そうすればこういう問題は瞬間的に解法が頭に浮かびます。

絶対値が出てくる問題なんて、少なくとも高校数学だと場合わけする場合が殆どです。とりあえず場合わけしときましょう。

この場合は、
t-1≧0 , t-3≧0 , t-1＜0 , t-3＜0
のパターンを考えることから思考が始まります。
この後を考えてtの共通範囲から要らない不等式を消す、もしくは統合(a＜t≦bの形にする)、などすると結果的に三つの場合わけに帰結するので、その三つに場合を分けて考えましょう。

回答No.2

sanori

こんにちは。

絶対値記号の中身が　ｔ－１　と　ｔ－３　なので、
ｔ－１＝０　のところと　ｔ－３＝０　のところが何かが起こる区切り（境目）だな、いうことはわかります。
つまり、ｔ＝１　のところと　ｔ＝３　のところが境目です。

ということは、
ｔ＜１
ｔ＝１
１＜ｔ＜３
ｔ＝３
ｔ＞３
の５通りを考えればよいわけです。

ｔ＜１
ｔ－１　も　ｔ－３　も負なので、その絶対値は－１をかけたもの
Ａ　＝　｜ｔ－１｜　＋　｜ｔ－３｜
　＝　－（ｔ－１）　－　（ｔ－３）　

ｔ＝１
Ａ　＝　｜ｔ－１｜　＋　｜ｔ－３｜
　＝　｜１－１｜　＋　｜１－３｜
　＝　２

１＜ｔ＜３
この範囲では、ｔ－１　は正で　ｔ－３　は負なので、
Ａ　＝　｜ｔ－１｜　＋　｜ｔ－３｜
　＝　（ｔ－１）　－　（ｔ－３）

ｔ＝３
Ａ　＝　｜ｔ－１｜　＋　｜ｔ－３｜
　＝　｜３－１｜　＋　｜３－３｜
　＝　２

ｔ＞３
ｔ－１　も　ｔ－３　も正なので、絶対値記号を外したものと同じ。
Ａ　＝　｜ｔ－１｜　＋　｜ｔ－３｜
　＝　（ｔ－１）　＋　（ｔ－３）

まとめ
ｔ＜１　のとき　　Ａ　＝　－２ｔ　＋　４
１≦ｔ≦３　のとき　　Ａ　＝　２
ｔ＞３　のとき　　Ａ　＝　２ｔ－４

以上、ご参考に。

回答No.1

pasocom

A=lt-1l+lt-3l
において、tが3より大きい場合はlt-3l＝t-3　ですし、lt-1|＝t-1　です。なぜなら、どちらの絶対値の中身が「正の数」になるからです。
しかし、tが1と3の間の場合にはlt-1|＝t-1　となりますが、（t-3）は「負の数」になりますのでlt-3l＝-(t-3)となります。
さらに、tが1よりも小さい場合は、(t-3）も(t-1）も「負の数」になりますね、
このように３通りの場合分けをして、絶対値を取って（はずして）それぞれ計算するのです。