絶対値

質問

問題　(│x│+1 ) / (│x│-1 ) < 4
答え　x< -5/3 , -1 < x <1 , x>5/3

x < 0 , x≥0 の場合分けをして私の答えはx< -5/3 , x>5/3　のふたつになりました。
-1 < x <1　の数字を元の式に入れると確かに成り立ちますがどうやって　-1 < x <1　に気が付くのでしょうか？

│x│-1 ≥0 　│x│+1 ≥0 の場合分けなども考えたのですが│x│は絶対値をはずすと＋になるので(見かけは　x, -x になるのは分かっていますが）その場合分けは必要ないと考えます。

説明して頂けると助かります。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

＞　もしかしたら凄い単純な計算なのかもしれませんが、
＞　すみません、この動きがわかりません。

テキストで書いてるのでわかりにくいのだと思います
MathType でちゃんと書きて添付しました

y ＝（X＋1）/（xー1） のグラフをいきなり描こうと
しても、僕の頭だと ？？？　です

でも、
y ＝ 2/x のグラフは描けるし、
y ＝ 2/x ＋ 1 のグラフも描けるし、
　（y ＝ 2/x のグラフを y 軸方向に１平行移動）
y ＝ 2/（xー1）のグラフも描けるので、
　（y ＝ 2/x のグラフを x 軸方向に１平行移動）
y ＝ 2/（xー1）のグラフも描けます
　（y ＝ 2/x のグラフを x 軸、y軸方向に各々１平行移動）

自分の描ける形に数式を変化させました

お礼

為になります、有難うございます。

回答No.6

shuu_01

y ＝ 2/（xー1）＋1 のグラフと y ＝ 2/x のグラフを描いてみました

y ＝ 2/x　のグラフを x軸、y軸方向に各々 １ 平行移動したら、

y ＝ 2/（xー1）＋1 になります

回答No.4

yyssaa

＞
x=±1では左辺の分母が0になるので、まずx=±1を除外して
進めます。
（１）x＜0(x≠-1)のときは|x|=-xだから
与式は(-x+1)/(-x-1)＜4。
両辺に(-x-1)をかけるときは(-x-1)の正負によって
不等号の向きが決まるので場合分けが必要。
(-x-1)＞0、すなわち-1＞xのときは(-x+1)＜4(-x-1)となり、解いて
x＜-5/3・・・・・(ア)。
(-x-1)＜0、すなわち-1＜xのときは(-x+1)＞4(-x-1)となり、解いて
-5/3＜xとなるが、-1＜x＜0が条件だから-1＜x＜0・・・・・(イ)。
（２）0≦x(x≠1)のとき|x|=xだから与式は(x+1)/(x-1)＜4。
両辺に(x-1)をかけるときは(x-1)の正負によって
不等号の向きが決まるので場合分けが必要。
0＜(x-1)、すなわち1＜xのときは(x+1)＜4(x-1)となり、解いて
5/3＜x・・・・・(ウ)。
0＞(x-1)、すなわちx＜1のときは(x+1)＞4(x-1)となり、解いて
x＜5/3になるが、0≦xかつx＜1が条件だから0≦x＜1・・・・・(エ)
以上の(ア)～(エ)が答えになりますが、
(イ)と(エ)を合わせると-1＜x＜1となり、
答えはx＜-5/3、-1＜x＜1、5/3＜xになります。

お礼

詳しく書いて頂き有難うございました。

実は

＞-5/3＜xとなるが、-1＜x＜0が条件だから-1＜x＜0

これ私何度かこちらで質問しかけてしなかった事なんです。
この考え方でいいのだろうけど１００％自信が無く質問したいけど恥だと思いここまできてたんです。　
書いて下さってホントに助かりました。あ～良かった。

有難うございました。

回答No.3

shuu_01

y ＝ （x＋１） / （x－1） のグラフ、描けますか？

y ＝ （x＋１） / （x－1）
　＝ ｛（x－1）＋2｝ / （x－1）
　＝ 1 ＋2 / （x－1）

となり、y ＝ 2 / x のグラフを x軸方向に 1、y軸方向に 1 平行移動したグラフになります

お礼

＞＝ ｛（x－1）＋2｝ / （x－1）
　＝ 1 ＋2 / （x－1）
y ＝ 2 / x

もしかしたら凄い単純な計算なのかもしれませんが、すみません、この動きがわかりません。
何故 ｛（x－1）＋2｝→　1 ＋2　になるのでしょう？　ｘ　はどうして消えるのですか？
そして 1 ＋2 / （x－1）　→　2 / x　になるのもわかりません。
説明して頂ければたすかります。

回答No.2

shuu_01

No.1 さんの通りですグラフ

不等号の分母を払う時、分母が正（プラス）なら、そのまま両辺に分母をかけられますが、

分母が負（マイナス）だと、不等号の向きが逆になるので注意が必要です

今回の場合、│x│-1 ≧ 0 であれば両辺に　│x│-1　をかけて良いですが、

│x│-1 ＜ 0 の場合、すなわち、－1 ＜ x ＜1　の場合は、不等号の向きが逆になります

y ＝ 　(│x│+1 ) / (│x│-1 ) 　のグラフを描いてみると、y軸について左右対称のグラフになります

だって、x の両脇には 絶対値の ｜｜　が囲ってるので、プラスでもマイナスでもプラスになっちゃうので、左右対称なのは頷けます

だとしたら、x ≧ 0 の時だけ考えて、x ＜ 0 の時は対称な範囲にしたら OK ですよね

0 ≦ x ＜ 1 の場合、すなわち │x│-1 ＜ 0 の場合

　　(│x│+1 ) / (│x│-1 ) ＜ 4　

　　( x ＋ 1 ) / ( x － 1 ) ＜ 4　

　　の両辺に x － 1　をかけると、
　　不等号の向きが逆になり

　　( x ＋ 1 ) ＞　4　(　x　－ 1 )
　　5 ＞ 3x
　 x ＜ 5/3

　　0 ≦ x ＜ 1 の範囲 すべて 不等式が成り立ちます

1 ＜ x　 の場合、すなわち │x│-1 ＞ 0 の場合

　　両辺にそのまま　x － 1　をかけてよく

　　( x ＋ 1 ) ＜　4　(　x　－ 1 )
　　5 ＜ 3x
　 5/3 ＜ x

以上、合わせて 0 ≦ x ＜ 1、5/3 ＜ x

x ＜ 0 の時は、y 軸に対し左右対称な範囲ですので、

x ＜ －5/3、－1＜ x ＜ 0

以上、x がプラスの時とマイナスの時を合わせると

【答え】　x ＜ －5/3、－1＜ x ＜ 1、5/3 ＜ x

お礼

詳しく説明して頂き有難うございました。　お陰様で理解できる様になりました。
いつも綺麗なわかり易いグラフを見せて頂き理解するのにとても役立ちます。

回答No.1

gohtraw

分母を払うときに
(│x│+1 ) < 4 (│x│-1 ) 　・・・（１）
となる場合と、
(│x│+1 ) > 4 (│x│-1 )　　・・・（２）
となる場合を考えて、
（１）の場合（つまりｘ＜－１、１＜ｘの場合）
ｘ＜０であれば　－ｘ＋１＜－４ｘ－４　より　３ｘ＜－５　
ｘ＞０であれば　ｘ＋１＜４ｘ－４　より　３ｘ＞５
以上まとめると　ｘ＜－５／３、５／３＜ｘ

（２）の場合（つまりー１＜ｘ＜１の場合）
ｘ＜０であれば　－ｘ＋１＞－４ｘ－４　より　３ｘ＞－５
ｘ＞０であれば　ｘ＋１＞４ｘ－４　より　３ｘ＜５
以上まとめると　－１＜ｘ＜１

お礼

私は今まで　２）を考える事を深く理解していませんでした。
よくわかりました、有難うございました。