絶対値記号を含む式を簡単にする。

質問

（問題）
|x^2+1-2x|+|4x-x^2-4|を簡単にする。

答えは　2x^2-6x+5

絶対値なので場合分けをしてみようと考えました。
|x^2-2x+1|を(x-1)^2でくくり、x=1
|4x-x^2-4|はx^2が最初に来るように並び替えてみて
|-x^2+4x-4|にして-x^2の-を消す為-を掛けて、|x^2-4x+4|にしてみました。←このやり方で合っているかどうかも不安ですが、そこから（x-2)^2にくくり、x=2

という上記の計算まではやってみたのですが、答えとは程遠く・・・。これが、全く間違っているのか、答えが出る途中の計算なのかわからなくなってきました。
どうすれば、問題にある“簡単に”という事が出来るのでしょうか？
簡単に解り易く教えて下さい！

回答No.5

happy2bhardcore · ベストアンサー

4です。
＞(問題）
＞|x^2+1-2x|+|4x-x^2-4|を簡単にする。
について

まずｌx^2+1-2x|は中身が(ｘ-1)二乗になりますから、常に0以上です。よってはずす時はそのまま外れます。
ｌx^2+1-2xｌ＝x^2+1-2x

次に|4x-x^2-4|は中身が-(ｘ-2)二乗ですから、常に0以下です、よってはずす時は【マイナス】を付けてはずします。
|4x-x^2-4|＝-(4x-x^2-4)

あとはこの二つを足すだけです。

時間があれば以下も考えてみてください、これが解ければ完璧です。
ｌｘ-8ｌ＝？
ｌｘ-3ｌ+ｌｘ-5ｌ＝？
ｌｘｌ+ｌｙｌ＝？
ｌ(ｘ-3)^2-9ｌ＝？
ｌｘｙｌ＝？

補足

こんばんは。解説＆問題ありがとうございます。
さっそく考えてみました。でも、答えが合っているかどうか自信はありません。
５問とも、xやyの数が指定されていないので、||を外すだけでいいのでしょうか？
|x-8|=x-8
|x-3|+|x-5|=x-3+x-5=2x-7
|x|+|y|=x+y
|(x-3)^2-9|=|x^2-6x+9-9|=x^2-6x
|xy|=xy

回答No.8

happy2bhardcore

こんばんは

>☆|(x-3)^2-9|
>絶対値の中身が0になるのは、x=0、x=6ですよね！
>答えは２つ
>(x-3)^2-9・・・(x≦0、x≧6のとき）
>-(x-3)^2-9・・・(0≦x≦6のとき)

あぁ、惜しいです！
書き損じかもしれませんが、絶対値をはずす時は絶対値全体にかかるので
|(x-3)^2-9|＝
-{(x-3)^2-9}＝-(ｘ-3)＾2+9・・・・(0≦x≦6のとき)

になります。もう片方の場合はＯＫです。

さて最後の問題は
|xy|
(解)このように項がひとつの場合は中身が0以上、0以下だけを考えればよいのです。絶対値の中身がそのようになるのはそれぞれ
「ｘ、ｙが同符号の時」、「ｘ、ｙが異符号の時」
です。よって

(答)ｌｘｙｌ＝
xy・・・(x≧0かつy≧0、またはx≦0かつy≦0のとき)
-xy・・・(x≧0かつy≦0、またはx≦0かつy≧0のとき)
の二つになります。

絶対値の中身が0になるのを探すのはその前後で符号が

変化するのを探すのに使うだけなので、絶対値の中身が

0になる場合の場合分けはする必要はありません、(○○

の時、と場合分けの中に0になる場合が含まれているか

らです)。

この5題で典型的なものは全てです、数IIでは三角関数や指数関数のものも入ってきますが、同じように絶対値の中身が正、負に場合分けするだけです。

それでは、しっかり復習して勉強がんばってください！

お礼

こんばんは。
内容確認いたしました。
☆|(x-3)^2-9|は書き損じではなく、符号は間違えました。－は絶対値全体にかかるという事は、よく覚えておきます！
☆|xy|については、表現の仕方がよく解らなかったので長い文章になってしまいました。
「同符号」「異符号」という表現で出来ますね。

覚えている内容より、忘れている内容の方が多くて、
四苦八苦しています（汗）！
これからも質問してまいりますので、宜しくお願い致します。
今回は１つの質問から、例題まで出していただき、何倍も勉強になりました。
本当にありがとうございました(*^_^*)

回答No.7

happy2bhardcore

>☆|x-3|+|x-5|
>絶対値の中身が0になるのは、x=3,x=5
>なので解答のパターンは4通り
>(1)-(x-3)・・・[x≦3の時]
>(2)x-3・・・・ [x≧3の時]
>(3)-(x-5)・・・[x≦5の時]
>(4)x-5・・・・ [x≧5の時]
>答え
>(1)+(3)→-2x+8
>(1)+(4)→-2
>(2)+(3)→2
>(2)+(4)→2x-8

こんばんは
一次式のはずしかたは分かってきたようですね。いい感じです。ただ答えを書くときは(○○のとき)とかかねばなりませんので。。。

|x-3|+|x-5|
(解)このように複数の項に絶対値がついているときは、以下のように表を書くことをお勧めします。(便宜上縦に書きますが、通常は横に書いてください。上から下に向かって読んでください。)

ｘ　ｌｘ-3ｌ　ｌｘ-5ｌ
・　　-　　　　-
３　　0　　　　-
・　　+　　　　-
５ 　+　　　　0
・　　+　　　　+

(黒丸はその前後までの数です。つまり3・5の黒丸は
3より大きく5より小さい数の集まりです)
こうすると、どの時が正(負)なのかが一目で分かります。表を参考にして答えると。

(答)ｌx-3|+|x-5|＝
-(ｘ-3)-(ｘ-5)＝-2ｘ+ 8・・(ｘ≦3のとき)
(ｘ-3)-(ｘ-5)＝2・・・・・(3≦ｘ≦5のとき)
(ｘ-3)+(ｘ-5)＝2ｘ- 8・・・(5≦ｘのとき)
の3つ答えられて正解になります。

fukurou-05さんの回答の誤りとして、例えば
(1)+(4)→-2ですが
(1)のときはｘ≦3のときで、(4)は5≦ｘの時ですから、単純に足すことは出来ないのです。
(ｘ≦3のときと、5≦ｘが同時に存在するような実数ｘの値は存在しないからです。)

今日はここまでですが、ほかの問題のヒント

ｌｘｙｌ
絶対値の中身が０になるのは
(1)ｘ＝0またはｙ＝0のとき
(2)ｘ＝0かつｙ＝0のときです。
ではｘ、ｙがどのような状態になれば、掛け算をして絶対値の中身が、正または負になるのかを考えてみてください。
例えばｘ＝1、ｙ＝1のときは絶対値の中身は常に正ですね。

ｌ(x-3)^2-9|
絶対値の中身が0になるのはｘ＝0の時ともうひとつあります。考えてみてください。

お礼

残る１つの問題、|xy|の答えは以下の通りでよろしいですか？
(xy)・・・[x=0、y=0のとき]
　・・・・[x=0、y≧1のとき]
　・・・・[x=0、y≦-1のとき]
　・・・・[x≧1、y=0のとき]
　・・・・[x≦-1、y=0のとき]
　・・・・[x≦-1、y≦-1のとき]
　・・・・[x≧1、y≧1のとき]
-(xy)・・[x≦-1、y≧1のとき]
　・・・・[x≧1、y≦-1のとき]
（かなり）考えましたが、まだ自信はないです。
回答宜しくお願い致しますm(__)m

補足

ひとつは解けました（たぶんこれでいいと思いますので）送信します。確認宜しくお願い致します！
☆|(x-3)^2-9|
絶対値の中身が0になるのは、x=0、x=6ですよね！
答えは２つ
(x-3)^2-9・・・(x≦0、x≧6のとき）
-(x-3)^2-9・・・(0≦x≦6のとき)
でよろしいでしょうか？
☆|xy|のxとyの組合せですが、絶対値の中身が0になるのは５つ（xとyが0、xが0ｙがプラス、xが0ｙがマイナス・・・）。正になるのが２つ（xとyがプラス、ｘとｙがマイナス）。負になるのが２つ（xがマイナスyがプラス、xがプラスyがマイナス）。合計９パターンですか？←と、今のところ、ここまでしか考えつかなかったのですが。

回答No.6

happy2bhardcore

＞||を外すだけでいいのでしょうか？

えっと、ですね。もう一度、定義を確認してみましょう。
定義【絶対値の中身が正(0以上)ならそのままはずし、絶対値の中身が負(0以下)であるならまいなすをつけてはずす。】
です。

絶対値のはずし方にあたって、まず0になるものを確認したほうが良いです。

ｌｘ-8ｌ
(解)まず、絶対値の中身が0になるのはｘ＝8のときですね？
ｘが8以下のときは中身は0以下になり、8以上の時は0以上になります。よって
(答)
ｌｘ－8ｌ＝
-(ｘ-8)・・・[ｘ≦8のとき]、
(ｘ-8)・・・・[ｘ≧8のとき]
のように答えは二つに分かれます。

|x|+|y|
(解)　これも同様に絶対値の中身が0以上、0以下になる場合を考えます。ｙが入ってもｘとは独立ですから戸惑う必要はありません。ひとつずつ考えていきましょう。
まず、絶対値の中身が0になるのはそれぞれ、ｘ＝0、ｙ＝0のときですね？よって

ｌｘｌ＝
-(ｘ)・・・[ｘ≦0のとき]
ｘ・・・・・[ｘ≧0のとき]
ｌｙｌ＝
-(ｙ)・・・[ｙ≦0のとき]
ｘ・・・・[ｙ≧0のとき]
にそれぞれなりますから、
(答)ｌｘｌ+ｌｙｌ＝
ｘ+ｙ・・・[ｘ≧0、ｙ≧0のとき]
ｘ-ｙ・・・[ｘ≧0、ｙ≦0のとき]
-ｘ+ｙ・・・[ｘ≦0、ｙ≧0のとき]
-ｘ-ｙ・・・[ｘ≦0、ｙ≦0のとき]
の4つが答えになります。

文字数の制限上この2問の解説だけになってしまいましたがほかのも同様に考えます。絶対値の中身の正負に注目して考えれば必ず解けます。がんばってみてください。
ちなみに出した問題はいづれも答えは2つ以上の表現が必要です。

補足

やはり、間違っていましたか。
今いただいた答えを参考にもう一度解いてみました。
☆|x-3|+|x-5|
絶対値の中身が0になるのは、x=3,x=5
なので解答のパターンは4通り
(1)-(x-3)・・・[x≦3の時]
(2)x-3・・・・ [x≧3の時]
(3)-(x-5)・・・[x≦5の時]
(4)x-5・・・・ [x≧5の時]
答え
(1)+(3)→-2x+8
(1)+(4)→-2
(2)+(3)→2
(2)+(4)→2x-8
☆|xy|
掛算なのでxかyのどちらかが0でさえあれば、絶対値の中身は0ですよね。
よく解りませんが答えは２つ以上の表現ということで・・・
答え
xy
-(xy)
でよろしいでしょうか。答えが合っている自信？ないです。
※|(x-3)^2-9|ですが、絶対値の中身が0になるのはx=0ですね。xに他の数字も当てはめて考えたのですが、xが正の数だから絶対値の中身が、必ずマイナス、必ずプラスというようにはいかないようです。
解いた問題が正解かどうかの確認と、※の問題の解説をお願いしてもよろしいでしょうか？
何度も聞いて申し訳ないです。宜しくお願い致します。

回答No.4

happy2bhardcore

>(1)a≧0のとき|a|=a
>(2)a<0のとき|a|=-a
について
絶対値の定義として【絶対値の中身が正ならそのままはずし、負であるならマイナスを付けてはずす】ですから

|-B^2|は、まずｂが実数ならｂ2乗は0以上ですね。そして、それにマイナスを付けたものは当然0以下です。
よって絶対値の中が負となるので、定義どおりマイナスをつけ、以下のように外れます
|-B^2|=-(-B^2)=B^2

もう一つ、不等号をどちらにつけるかという質問も結構ありますが、これはどちらに付けてもいいです。もちろん両方に付けてもかまいません。

回答No.3

age_momo

>(1)a≧0のとき|a|=a
>(2)a<0のとき|a|=-a
>と書いてありました。
>今回、|-B^2|=B^2になるのは、何故ですか？
>（-B^2のような感じがしたのですが。）

a<0のとき|a|=-a
というのは例えばa=-4の時
|a|=|-4|=4=-aということです。aの中身が(-4)の時、
正に変換するために『-』をつけているのです。-(-4)=4で正になりますから。変数の中身が負の時は『-』を付けて正にしているのですね。
B^2は負ではありません。(B^2≧0：ただしBは実数)
だから『-』をつける必要は全く無いですね。
だから
|-B^2|=B^2です。

迷った時には具体的に数字を当てはめて確かめてみるのも手ですよ。
B=4　⇒　|-B^2|=|-16|=16=B^2
B=-4 ⇒　|-B^2|=|-16|=16=B^2
どちらでも|-B^2|=B^2ですね。

回答No.2

age_momo

>全く間違っているのか、答えが出る途中の計算なのかわからなくなってきました。

基本的なところで錯誤があるようです。

(x-a)(x-b)=0
x=a,b
というのは『=0』がついているから『x=a,b』
という解になるのです。
掛けて0になるならどちらかは0
⇒　x-aかx-bが0　⇒　x=aもしくはx=bということです。
問題の式は『=』も何も有りませんね。

>|x^2-2x+1|を(x-1)^2でくくり、x=1
|(x-1)^2|は何らかの数字から1を引いたものを2乗して、負なら正に変換した数字を表しているだけです。
だから『=』の無い式でできるのは因数分解や展開、この場合の絶対値を外すと
いった作業だけですし、問題はそれを求めているのです。

この問題の場合、
|x^2+1-2x|+|4x-x^2-4|=|(x-1)^2|+|-(x-2)^2|
=(x-1)^2+(x-2)^2=2x^2-6x+5
ですね。ポイントになっているのは絶対値の中身が
常に正なのか、常に負なのか、場合わけが必要かというこですが
A^2は常に正ですし、-B^2は常に負なので
|A^2|=A^2
|-B^2|=B^2
と絶対値記号を消してまとめればそれが答えです。

補足

よく解らないので、もう一度教えて下さい。
参考書では、絶対値記号のはずし方は、
(1)a≧0のとき|a|=a
(2)a<0のとき|a|=-a
と書いてありました。
今回、|-B^2|=B^2になるのは、何故ですか？
（-B^2のような感じがしたのですが。）

回答No.1

tosembow

はじめの考え方はあってますよ。
|x^2-2x+1|=|(x-1)^2|=(x-1)^2
|4x-x^2-4|=|-(x^2-4x+4)|=|-(x-2)^2|=(x-2)^2
　したがって元の式は
|x^2+1-2x|+|4x-x^2-4|
=(x-1)^2+(x-2)^2
=2x^2-6x+5
　絶対値符号の中が完全平方式になるので、場合分けは必要ありません。

補足

全くの間違いではないとわかり、ホッとしました。
後は、( )^2にしたものを素直に計算すれば大丈夫なのですね。
「絶対値符号の中が完全平方式になるので・・・」場合分けは必要ないとの事ですが、この「完全平方式」とはどういう意味なのでしょうか？教えて下さいm(__)m