絶対値の方程式

質問

|－X＋3|＋2X－7＝－4X＋2を満たすXを求めよ。

この問題には絶対値記号が含まれていますが、普通の方程式と同じように計算してよいのでしょうか。

絶対値については最近勉強を始めたばかりなので、絶対値記号の扱い方がまだ良くわかりません。

試しに絶対値記号を無視して普通の方程式としてやってみたところ、「6/5」と出ました。答えにも「6/5」とあります。

ただ、参考書などを読むと、「絶対値の解は2つある」と書かれていますが、この問題の答えは1つしか書かれていません。答えだけで解き方は書かれていないので、正しい解法が分かりません。

どなたかこの問題の正しい解き方を教えていただけないでしょうか。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

絶対値記号の含まれる方程式を解くコツは、絶対値記号の中身での場合分けです。（これを覚えておけば、どんな問題でも先ず解けます。）

　先ず、与えられた方程式を整理しておきましょう。

　　|－X＋3|＋2X－7＝－4X＋2
　⇔|－X＋3|＋6X－9＝0

　次に、絶対値記号の中身で場合分けです。

１）－X＋3≧０のとき　（絶対値記号の中身が正なので、そのままの形になります）
　　(－X＋3)＋6X－9＝0
　∴X＝6/5　　　　←　質問者さんが解かれたとおり。
　ただし、ここで１つチェックが必要です。
　ここでの解は、－X＋3≧０（つまりX≦3）を条件としていますので、この不等式を満足しているか確認しなければなりません。ここで、6/5≦３　となって不等式を満たしていますので、6/5　は１つの解であることが確かめられます。

２）－X＋3＜０のとき　　（絶対値記号の中身が負なので、符号を反転させます）
　　－(－X＋3)＋6X－9＝0
　⇔X-3+6X-9＝0
　∴X＝12/7

　さて、この解も１）で行ったように、場合分けの条件　－X＋3＜０（つまり、X＞３）を満足しているか確認しますと、この条件を満たしていないことが判ります。
　したがって、場合分けの条件を満たしていないものが出てきたわけですから、12/7　は、元の方程式の解ではありません。

　１）と２）の考察から、与えられた方程式の解は、
　　Ｘ＝６／５
だけだということになります。

＞ただ、参考書などを読むと、「絶対値の解は2つある」と書かれていますが、この問題の答えは1つしか書かれていません。

　この記述は、絶対値の中身がｘだけ（｜ｘ｜）の場合だけに当てはまる記述です。
　今回の問題のように、絶対値の中身がｘだけで表されない場合は、２つの解を持たないこともありますので、注意するとよいと思います。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました。

回答No.3

sanori

ｘ≧３のとき、－ｘ＋３≦０　なので
｜－ｘ＋３｜　＝　－（－ｘ＋３）＝ｘ－３
よって
（ｘ－３）＋２ｘ－７　＝　－４ｘ＋２
７ｘ＝１２
ｘ＝１２／７
しかしこれは、前提の「ｘ≧３」に反する。
よって、ｘ≧３　の解は無し。

ｘ＜３のとき、－ｘ＋３＞０　なので、
｜－ｘ＋３｜　＝　－ｘ＋３
よって、
（－ｘ＋３）＋２ｘ－７　＝　－４ｘ＋２
５ｘ＝６
ｘ＝６／５
これは、前提の「ｘ＜３」を満たす。
よって、
ｘ＝６／５　は解（の一つ）。

以上のことから、
ｘ＝６／５

回答No.2

koroyan

No.1の者です。
誤記がありましたので修正させて頂きます。
「x＜0」は全て「x＜3」の誤りです。
そして、「x≧3」の場合と「x＜3」とでの解法が逆になっていました。
失礼しました。

回答No.1

koroyan

絶対値の中身が負ならば－を付けて外します。
この操作を場合分けによって行います。
この場合、x≧3のときとx＜0の時です。
x≧3のときはそのまま絶対値は外れ答えは「6/5」です。
しかし、x＜0のときは絶対値は－を付けて外れ（x-3)、その時の答えは「12/7」になります。この解はx＜0を満たさないので不適です。
よって答えは「6/5」のみです。