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絶対値記号と不等式
不等式と場合分けをやっているのですが、手強い問題が出てきてなかな か解くことが出来ません。 次の不等式を解け |x-4|＞3x この問題についてですが、場合分けの仕方が分からないのです。 絶対値記号の|x-4|から「x＜4」と「x≧4」に分けるのも違うし、3x≧0 から「x≧0」で分けるのも違うし、こういう場合どう場合分けをすれば よいのでしょうか。 宜敷御願い致します。
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- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> #4の方の解答には申し訳ないのですが、間違いがあります： > |x-4|≦3x > ⇔ -3x≦x-4≦3x > これは、x≧0のときに限ります。x＜0の時には言えません。 ３行目の式には，x≧0 が含まれています。 x<0 のときは，２行目も３行目も「偽」です。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
No.3 です。 確かにこの問題の場合、ｘの正負について分ける必要はありません。 ただ単に、「どっちで分けたら良いのか……」で困ってしまうよりは、まず、両方で分けてみたらうまくいく場合も多いということです。 それが、安全な方法かなということで、もちろん、必ずしもエレガントな方法ではありません。
- iwaiwaiwa
- ベストアンサー率18% (25/137)
#1です。気になったことがあるので数点。 #4の方の解答には申し訳ないのですが、間違いがあります： |x-4|≦3x ⇔ -3x≦x-4≦3x これは、x≧0のときに限ります。x＜0の時には言えません。 この問題の場合は、たまたま答えが出ていますが、記述式の 場合は、減点されると思います。 次に#3の方への補足ですが、この問題の場合はx＜0とかx≧0の場合は 考える必要はないと思います。 基本的に、絶対値の付いた部分が正になるか負になるかを場合分け すれば機械的に解けます。グラフを用いた解答は応用です。 ちなみに、数学は数式で表現できないと解いたことになりません。 グラフでこうなっているから正しい…みたいな解答は、厳密には 正しくありません。 それから、本でこうなっていたから…ということですが、 本でも間違いを書いている本はたくさんあります。必ずしも 正解を書いているとは限りません。もっとより良いやり方が ある場合も多いです。 自信を持って頑張ってください。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
No.3 です。 [1] x＜0の時、|x-4|≧0であるから与式は成り立つ この書き方は、なれればそれほど難しくはないのですが、慣れは必要かも。 といっても、補足事項に書かれている点を見ると、ほぼ理解されているようですが。 確かに、絶対値の中身が何であろうとも、絶対値をとれば、０以上になります。ですから、 |x-4|＞3x でなくても、 ｜なんとか｜＞3x という式は、x < 0 の時には、必ず成立します。 ｜なんとか｜は、ゼロ以上だし、３ｘは負ですから。 ですから、気持ちは、 |なんとか｜≧０だから、ｘがマイナスなら、 ｜なんとか｜≧３ｘは成立する といいたいのです。 「なんとか」が具体的に書いてあるだけに過ぎません。
- mis_take
- ベストアンサー率35% (27/76)
> 「x＜4」と「x≧4」に分けるのも違うし、 > 「x≧0」で分けるのも違うし どころか，どちらでもできます。 |x-4|>3x ⇔ (x-4≧0 かつ x-4>3x) または (x-4<0 かつ -(x-4)>3x) でも |x-4|>3x ⇔ (3x<0) または (3x≧0 かつ (x-4>3x または x-4<-3x)) なお，この問題は否定の |x-4|≦3x の方が簡単に解けるので，その解の否定を答えるという方法もあります。 |x-4|≦3x ⇔ -3x≦x-4≦3x ⇔ -4x≦-4≦2x ⇔ x≧1 かつ -2≦x ⇔ x≧1 ゆえに |x-4|>3x ⇔ x<1 |f(x)|≦g(x) ⇔ -g(x)≦f(x)≦g(x) だからです。
お礼
後半の説明は目から鱗が落ちました。 こういう方法は私の好きな方法です。 質問して良かったと思います。 有難う御座いました。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
かならず、１箇所で分けなければならいということもないので、 ｘ ＜ ０ ０ ≦ ｘ ＜ ４ ４ ≦ ｘ の３つのケースで分ければ安全かなと思います。
補足
参考書のやり方が正にこの方法でした。 しかし、説明が今ひとつ理解できないために私なりの場合分けを行い、混乱し てこうして質問する羽目になった次第です。 参考書の説明は以下の通り [1] x＜0の時、|x-4|≧0であるから与式は成り立つ [2] 0≦x＜4の時、与式から-(x-4)＞3x -4x＞4からx＜1 よって0≦x＜1 [3] 4≦xの時、与式からx-4＞3x ゆえに-2x＞4からx＜-2となり不適 [1]または[2]または[3]からx＜1 ここで、分からないのは[1]の説明です。 「|x-4|≧0」が、絶対値記号が原点からの距離であるため「0以上である」と 言っているらしいことは分かるのです。 ただ、「x＜0のとき」と条件が付いているにも関わらず自明のように導き出さ れる「|x-4|≧0であるから」という理由や、「与式が成り立つ」という結論は どうしても矛盾に思え、納得しかねるのです。また、この説明に右辺の3xが全 く登場しないのも不満です。なぜ[1]のようなことが言えるのですか。 最初からこう質問すれば回りくどくなくて良かったと、少し後悔しています。 当初は参考書の説明を諦めて、自分なりの解決策を得てこの問題は終わりにし ようと思ってここに質問したのでした。しかしどうしても諦めきれず、こうし た事情を告白した上で、再度みなさんの助言を頂きたいです。 宜敷御願い致します。
- y_akkie
- ベストアンサー率31% (53/169)
分かりにくければ、グラフを書けば良いと思います。 まず、f(x) = |x-4|,g(x)=3xとおいて、 f(x)はすなわち、 x≧4 f(x) = x - 4 x＜4 f(x) = 4 - x と定義された関数であると考えて下さい。 y = f(x) y = g(x)のグラフをそれぞれ描きます。 そして、f(x)≧g(x)になるようなxの範囲を求めればよいと思います。 よって、x=4を境にf(x)のグラフの概形が変わるわけですから、「x＜4」と「x≧4」との場合わけで良いと思います。 すなわち、 A:x-4≧3x (x≧4のとき） B:4-x≧3x (x<4のとき) のA,Bの２つの不等式があると思ってください。
- iwaiwaiwa
- ベストアンサー率18% (25/137)
> 絶対値記号の|x-4|から「x＜4」と「x≧4」に分けるのも違うし それでいいと思います。 要は、x-4がx次第でプラスになったり、マイナスになったり する、この2パターンを考えて解けばいいですよ。 ただし、不等式なので、最後に不等号をまとめて答えを出す には、注意してくださいね。
お礼
自信を得て解いてみました。 【x＜4の時】 -(x-4)＞3x -x+4＞3x -4x＞-4 x＜1 ----数直線上のx＜4の範囲とx＜1が重なる部分、即ちx＜1であり、この場合は適当である。 --- 【x≧4の時】 x-4＞3x -2x＞4 x＜-2 ----不適 ∴x＜1 こんな風に出ました。 有難う御座いました。
お礼
ひとまず私の二番目の質問、即ち参考書の説明に拘るのは保留することにします。 つまり「x＜4の時」と「x≧4の時」に場合分けした私なりの方法で納得すると いうことです。しかしこれは敗北ではありません。妥協です。往々にして時間 が経ってからふとした瞬間に理解できることが今までにもあったことを踏まえ 今回もそれに縋るしかないと思えたからです。 この質問は締め切らないことにしたいです。 mis takeさんへの返信ですが、色々教えていただいた皆さん有難う御座いました。