因数分解

質問

(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(b+c)(a+b)(c+a)+bac
まずどうしてこの形にしたか分かりません。
どう考えているんでしょうか。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

x＝a＋b＋cとすると、a+b＝x-c、b+c＝x-a、c+a＝x-b　であるから、(a+b)(b+c)(c+a)+abc＝（x-c）*（x-a）*（x-b）＋abc＝x＾3-（a＋b＋c）*x＾2＋（ab＋bc＋ca）*x＝x＾3-x＾3＋（ab＋bc＋ca）*x＝（ab＋bc＋ca）*x＝=(a+b+c)(ab+bc+ca)。

回答No.3

info22

3次の対称式なので
一次の基本対称式(a+b+c)や二次の基本対称式(ab+bc+ca)を因数にもつ可能性があります。
なので
(a+b+c)が因数でないか
a+b+c=0として c=-(a+b)を代入してみると

(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b)(-a)(-b)-ab(a+b)=0

従って与式は(a+b+c)を因数にもちます。
与式は3次の対称式ですから残りの因数は二次の対称式で表せるはずです。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(a+b+c-c)(b+c)(c+a)+abc
=(a+b+c)(b+c)(c+a)-c(b+c)(c+a)+abc
=(a+b+c)(ab+bc+ca+c^2)-c(ac+bc+c^2)
=(a+b+c)(ab+bc+ca+c^2)-c^2(a+b+c)
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

別解）
展開して特定の文字について降べきの順に整理する方法もあります。

回答No.2

noname#101087

{a, b, c} の順番を入れ替えただけ、に見えますが…。

回答No.1

gohtraw

この形に「する」というほどの変化とは思えないのですが・・・。この先考えやすくする（何を考えるのかご質問だけでは判りかねますが）ために順序を入れ替えるということはあるかもしれませんがそうする必然性もないと思いますよ。