因数分解

質問

a(b^5-c^5)+b(c^5-a^5)+c(a^5-b^5)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+abc)
の因数分解の過程を教えて下さい。

回答No.4

Tacosan

交代式であることに気付けば, 差積
(a-b)(b-c)(c-a)
で割り切れることは一瞬でわかる.

あとは商がどう因数分解できるのか (あるいは因数分解できないのか) を考える.

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

think2nd

No２です
ごめんなさい　間違いが数ヶ所あります。
共通因数 (a-c)(b-c)があるから、それでくくったのこりの項をうまく整理して"(b-c)”をくくりだして下さい。
は(b-a)をくくりだして下さいです。

初めの一歩がポイントそれと鉛筆を持ち続けるガッツがあればできるかと思います。
途中まで書きますからご自身で、解けたという成功経験を味わって下さい。
(a-c)(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c)-(b-c)(a-c)(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)
=(a-c)(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4-c^4-c^3a-c^2a^2-ca^3-a^4)
=(a-c)(b-c){(b^4-a^4)+c(b^3-a^3)+c^2(b^2)+c^3(b-a)}
=(a-c)(b-c){(b-a)(b^3+b^2a+ba^2+a^3)+c(b-a)(b^2+ab+a^2)+c^2(b-a)(b+a)+c^3(b-a)}
=(a-c)(b-c)(b-a){(b^3+b^2a+ba^2+a^3)+c(b^2+ab+a^2)+c^2(b+a)+c^3}
・・・以下略
降参です。後はby yourself
推理小説も最後まで読むと、小説の全体像がつかめて感動する。感動すると自分の血となり肉となり
自分のものとなる。

お礼

２度も丁寧にありがとうございました。

回答No.2

think2nd

交代式だから行列かと思ったが挫折。
　正攻法でやるしかない(^_^;)、しかし計算が大変。計算する腕力だけだと思うが、もっとエレガントに計算する方法もありそうです。
　　大変だから過程だけですよ。
　公式　x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^3)等は当たり前のこととして使って下さい。

　　b^5-c^5=A
　　c^5-a^5=B　
　とおいて上の２つの式の両辺同士を加えれば
　　b^5-a^5=A+B
となる。
　a(b^5-c^5)+b(c^5-a^5)+c(a^5-b^5)に代入して
　　=aA+bB-c(A+B)
　 =(a-c)A+(b-c)B　戻して
　 =(a-c)(b-c)(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)+(b-c)(c-a)(c^4+c^3a+c^2a^2+ca^3+a^4)

　２つの項には 共通因数 (a-c)(b-c)があるから、それでくくったのこりの項をうまく整理して(b-c)をくくりだして下さい。
　　きっと(b^4-a^4)+c(b^3-a^3)+c^2(b^2-a^2)+・・・となってそれぞれ因数分解すれば(b-c)がくくり出せますよ。
　またその後整理が大変だ。
　参りました、お任せいたします。

お礼

たくさん書いて下さりありがとうございます。
このようなやり方もあるんですね、参考にさせて頂きます。

最初はaに注目してくくりだして、その後、bに注目、cに注目…、というやり方でやっていたのですが
どうも計算力の欠如か、この方針だけしか定まらず、
先へ進めない状況でした。

もし解答にたどり着いたらまた教えて下さいm(_._)m

回答No.1

Tacosan

交代式になっていることに着目する.

お礼

すいません。交代式であることはわかってもそこからどう発展させていいのかわからないもので…。

回答ありがとうございます。