因数分解で・・・

質問

(1) (a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3

(2) (1)の結果を利用して、次の式を因数分解せよ。
　　　　　　a^3+b^3+c^3-3abc

という問題です。
(1)の結果を利用して、
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc　と変換したのですが、その先の答えにたどり着けません。ヒントでも良いので解き方を教えていただけると助かります。

答えは、(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)です。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

bluespace · ベストアンサー

a3+b3+c3-3abc
= (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc ← (a+b)3-3ab(a+b)=a3+b3

　a+b=x と置く。

= x3+c3-3abx-3abc
= x3+c3-3ab(x+c)-3abc
= (x+c)3-3xc(x+c)-3ab(x+c)
= (x+c){(x+c)2-3xc-3ab}
= (a+b+c){x2-xc-3ab+c2}
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc-3ab+c2)
= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

お礼

答えまでの途中式を詳しく書いて頂き、どういう風に考えていくかが本当に良く分かりました。
回答、ありがとうございました。

回答No.3

mao1978-exile

例えば仮に、
(a+b) = X
ab = Y
と、式を置き換えて見ましょう。考えやすくなります。

(a+b)^3 -3ab(a+b) +c^3 -3abc
=X^3 -YX +c^3 -3Yc
これを並び替えて・・・
=X^3 +c^3 -3YX -3Yc

何か見えてきませんか？

お礼

置き換えをすることでごちゃごちゃしていた式がわかりやすくなりました。
アドバイス、ありがとうございました。

回答No.2

yoikagari

eatern27さんに追加

a^3+b^3+c^3-3abc={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)ですから
(a+b)^3+c^3を因数分解の公式
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)を利用して因数分解すると共通因数a+b+cが出てきます。

お礼

eatern27さんの追加として頂いたため、よりわかりやすくなりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc

={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b)-3abc

={(a+b)^3+c^3}-3ab(a+b+c)

として、{}の部分に(1)の結果を使うとか？

お礼

ヒントをくれたため、自分で考えながら解くことができました。
アドバイス、ありがとうございました。