位相のイメージがつかめません

質問

内田伏一「集合と位相」を勉強しています。
位相＝「冪集合の部分集合」とはわかるのですが、イメージがつかめません。
ｐ６９に「集合｛１，２，３｝の上の位相を全て求めよ」とある
のですが、どう解けばいいのでしょうか

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

その問題を解くのに必要なのは、イメージではなく、
位相の正確な定義です。
大概の教科書に、きちんと書いてありますから、
使用中の本を、よく読んでみましょう。

イメージを大掴みしたいなら、
森毅著「位相のこころ」などがお薦めです。
文庫本も出てますよ。

さて、問題に戻って、
3 元集合の部分集合は、8 通りです。その内、
3 元集合自身と空集合は、位相に必ず含まれます。
この条件を満たす部分集合族は、2~(8-2)=64 通り。
もとの 3 元集合の各元「1」「2」「3」の
対称性に注目すれば、
実質的には、20 通りしか在りません。
その各々について、位相の定義を満たしているか、
公理をひとつひとつ検証するだけです。
がんばってね。

補足

返事が遅れたことを、お詫びします。
以下の20 通りになりました。これで合ってますでしょうか？
１．｛1｝,｛2｝->｛1,2｝
２．｛1｝,｛3｝->｛1,3}
３．｛2｝,｛3｝->｛2,3｝
４．｛1｝,｛2｝,｛3｝->｛1,2,3｝
５．｛1｝｛2,3｝ -> ｛1,2,3｝
６．｛1｝｛1,3}
７．｛1｝｛1,2｝
８．｛2｝｛1,3} -> ｛1,2,3｝
９．｛2｝｛2,3}
10. ｛2｝｛1,2｝
11. ｛3｝｛1,2｝ -> ｛1,2,3｝
12. ｛3} ｛1,3}
13. ｛3｝｛3,2｝
14. ｛1,2｝,｛2,3｝->｛2｝ -> ｛1,2,3｝
15. ｛1,2｝,｛1,3} ->｛1｝ -> ｛1,2,3｝
16. ｛2,3｝,｛1,3} ->｛3｝ -> ｛1,2,3｝
17. ｛1｝｛1,2｝,｛2,3｝,｛2｝->｛1,2,3｝
18. ｛2｝｛1,2｝,｛2,3｝,｛3｝->｛1,2,3｝
19. ｛3｝｛1,2｝,｛2,3｝,｛1｝->｛1,2,3｝
20. ｛1,2｝,｛2,3｝,｛1,3},-> {1,2,3｝

回答No.1

nagi_szn

>位相＝「冪集合の部分集合」とはわかるのですが、イメージがつかめません。
位相の定義があるのでそのまま。イメージはユークリッド空間の開集合を想像すればよい。

>集合｛１，２，３｝の上の位相を全て求めよ
開集合の定義を満たすように決めればよい。
まず、開集合系にφと｛1,2,3｝が入る。
その他の部分集合は｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛1,2｝,｛2,3｝,｛1,3｝だから頑張って探せばよい。

補足

返事が遅くなってすみませんでした。
＞イメージはユークリッド空間の開集合を想像すればよい
位相の定義：
（１）　X　∈ θ、　φ　∈ θ
（２）　O1,O2、、、On　∈ θ　ならば、 O1∩O2∩、、、∩On∈ θ
（３）　Λ上の集合系（Oλ｜λ∈Λ）を、θの元からなる集合系とすれば、
　　　　　　U　Oλ　∈ θ
R^1　を考えると、O1,O2、、、は、開区間1、開区間2、開区間3、、、
と思ってよいでしょうか。