半ノルム族によって誘導される位相について

質問

多様体V上の連続関数全体F(V)の位相に関して、

任意のコンパクト集合Lに対して、

P_Ｌ(ｆ) = max |f(x)| ※xはL上を走る

P_Ｌ(ｆ) は、半ノルムとなり、F(V)にこれらの半ノルム族に誘導される位相が入るらしいです。

半ノルム族に誘導される位相とは、具体的に、開集合はどのように定義されるのですか。

Vがコンパクトであれば、通常のMAXノルムというやつですが、コンパクトでない一般的でない場合の位相の入れ方に関する質問です。

おそらく、ブルバキの位相に載っているかと思うのですが、当方、社会人のため、見ることができません。定義の問題なので、どなたかお願いします。

回答No.5

noname#199771 · ベストアンサー

そんな小難しいことではなくて、U(L,ε)={f|P_L(f)<ε}として、
{U(L,ε)|L:compact⊂V,ε>0}を基本近傍系にするのは？
という意味です。

お礼

たびたびのご回答、ありがとうございます。

要するに、f∈F(V)、ε>0に対して、

U(f,L,ε)={g∈F(V)|P_L(f-g)<ε}

とおけば、F(V)の開集合Wは、Wの任意の点fに対して、

U(f,L,ε)⊂W

となるU(f,L,ε)が存在するということですよね。
これまさに、私が思っていたものです。

実は、Vが多様体であるから、推測はつくとは思いますが、この後、F(V)は、V上可微分関数族となります。大雑把に言えば、Vの任意の点で、局所的にC∞級数で表される関数族です。

F(V)は、V上可微分関数族の半ノルムは、コンパクトな台を持つ微分作用素Dに対して、

Q_D(f)=max|(Df)(p)|　　※pはV全体を動く

の半ノルムを定義して、これらの半ノルム族から誘導される位相をF(V)に入れるわけです。
ここに、Dのコンパクトな台とは、

{p∈V|∃f∈F(V)s.t(Df)(p)≠0}

の閉包がコンパクトになるということ。　　

このとき、なんと、

N(D)={f∈F(V)|Q_D(f)≦1}

とおいたとき、これらN(D)の有限個の共通集合

N(D_1)∩・・・∩N(D_k)

が、0の基本近傍系になるというのです。

位相の入れ方は、先のV上連続関数族全体のと同様と思われるので、例えば、ε=1/2とかを考えると、
たちまち、矛盾が発生してしまうのです。
とても、

N(D_1)∩・・・∩N(D_k)⊂{g∈F(V)|Q_D(g)<1/2}

となるようなコンパクトな台を持つ微分作用素D_1・・・D_kが存在することは示せそうにない。
せめて、N(D)={f∈F(V)|Q_D(f)≦1/n}であればよかったのだが、≦1ではね。。。。

そもそも、半ノルム族から誘導される位相の理解がまちがっているのではないかと思い、本サイトで質問してみたのです。

berokandaさんの言われるとおり、小難しいことではないと思います。これらの半ノルム族は、関数解析系でよく出てくるものではないのですか。定義だけの問題なのだが。。。。

回答No.6

alice_44

←No.2「お礼」欄
いやいや、F(L) の元を V へ延長しようという話ではなく、
F(L) は既知という貴方の立場から、振り返って見れば、
F(V) の元は、L 上の関数を、F(L) の位相を持ったまま
V へ延長したものになっている…ということです。
尾ヒレがついたというかな。

＞ f自体はもともとVに拡張されているのです。
そのとおり。だからこその A No.2 です。

←A No.5
Power(V) に位相を入れるのですか？

L を固定すると、F(V) に半ノルム P_L が定義されて、
半ノルムが疑距離を定める　…てことかと思いましたが。
F(V) の開集合族は、{ g∈F(V) | ∃f∈F(V),∃ε>0,P_L(g-f)<ε }
かと。疑距離が導く位相だから、T0-非分離ですけどね。

お礼

たびたびのご回答ありがとうございます。

>F(V) の元は、L 上の関数を、F(L) の位相を持ったまま
>V へ延長したものになっている…ということです。

F(L) の位相を持ったままということは、F(V)の位相は、F(L)の位相のままということですか。
すると、F(V)の位相は、Lのとり方によって依存することになり、定義が合理的でないということになりませんか。
F(L)の位相は、Lのとり方によらないことが示せれば、別ですけど、まず無理でしょう。

berokandaさんの位相が、自然な入れ方だと思うのですが、NO5のお礼欄のとおり、疑問があります。
おまけに、この位相は、T0-非分離ということは、ハウズドロフでないということですか。
関数空間の位相とは言え、多様体上なのでハウズドロフでないというのは、ますます、疑問が湧いてきますね。う～ん、困った。

補足

本問題、解決しました。回答してくださった方、ありがとうございました。

まず、半ノルム族によって誘導される位相の定義ですが、ブルバキによれば、以下のとおりです。

すべてのコンパクト集合Lに対して、

F(V) ∋ f　→　f|L ∈ F(L)　　※F(L)は通常のMAXノルムの位相

が連続となる最弱な位相が、該当する位相です。したがって、berokandaさんの位相で正しいです。

一方、私の疑問

> N(D_1)∩・・・∩N(D_k)⊂{g∈F(V)|Q_D(g)<1/2}
>
> となるようなコンパクトな台を持つ微分作用素D_1・・・D_kが存在することは示せそうにない。

はまことに馬鹿げた疑問で明らかでした。

実際、D_1 = 2Dとおけば、D_1はコンパクトな台を持つ微分作用素で、

　N(D_1) ⊂ {g∈F(V)|Q_D(g)<1/2}

が成り立つ。

回答No.4

noname#199771

誤植失礼。
×属
○族

お礼

誤植の指摘、ご丁寧にありがとうございます。

回答No.3

noname#199771

distributionにいれるsemi normの属による位相と
同様のものではまずい理由はなにかありますか？

お礼

ご回答ありがとうございます。関数解析系の専攻の方ですか。

丁度、超関数を目指している準備段階で躓いています。

ネットで調べても、おそらく、

> distributionにいれるsemi normの属による位相

の特別な場合に帰着する気がします。もし、そうだとしたら、具体的に、F(V)の開集合はどう定義されるのですか。

よくわかりませんが、樽とかの概念と関係していますか。

回答No.2

alice_44

いや、何をどう睨んだところで、これは、
貴方が既に理解している F(L) の位相を、
F(L) の各元を L から V へ延長することで、
F(V) の位相としよう…という話です。
それ以上でも、それ以下でも、ありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> F(L) の各元を L から V へ延長する

すいません。説明足らずでした。
質問文中に書いたfは、F(V)の元です。VからLに制限しています。
すなわち、f自体はもともとVに拡張されているのです。

回答No.1

alice_44

V がコンパクトなら、解るんですか？
L はコンパクトですよ。
L 上の連続関数が、V 上へ延長されているだけです。
F(L) を考えてみたら、どうですか。
ノルムでない半ノルム
が誘導する位相
が ok なら、難しいことはないでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

Vがコンパクトなら、大学１年次にやる、有界閉区間上の実数値連続関数全体の関数空間のアナロジーですぐにわかります。ご存知でしょう？

いろいろ、ネットで調べてみたところ、一般に、半ノルム族が与えられたときに、半ノルム族から誘導される位相があるようです。族がポイントかと。

単に、LからVへの拡張とかいうレベルではないと睨んでいます。ちなみに、Lは任意のコンパクト集合です。

The family of semi-norms P_L(f) for compact subsets L defines topology of compact convergence in F(V)

とあります。定義の問題なので、特に、関数解析系の本に記載されているとは思うのですが、
なにかてがかりないですか。多分、ブルバキの位相にはあると思います。