位相

質問

集合Xの部分集合の族A（ただし、空集合∈A）が∪A＝Xをみたすものとする。
　C（A）：＝｛S1∩S2・・∩Sn｝｜Sｉ∈Ａ、ｉ∈Ｎ｝
　Ｔ（A）：＝｛∪λ∈Ω　Bλ｜Bλ∈C(A)、Ωは任意　｝
とおく。このとき、次のことを証明せよ。

(1)　T（A）は位相になることを示せ。
(2)　T(A)は　Aを含む位相のうちで最も弱い位相であること　　を示せ。

ずっと考えたのですが、わかりません。教えてください。
お願いします。

回答No.2

fushigichan

piropiro1さん、こんにちは。
先程ケーニヒスブルグの橋の問題に回答させていただきました。
位相の問題があるなあ・・と思ってみていたのですが
大学で幾何学を学ばれているみたいですね。

まず、位相の定義から考えれば、
T(A)が位相構造をなすとは、
(1)X∈T(A),φ∈T(A)
XはT(A)の要素、空集合もT(A)に含まれる

(2)T(A)の元からなる集合族(Oλ)λ∈Λ（添数集合）
だとするとき、
∪Ｏλ∈T(A)←Ｏλの和集合は、T(A)に属する
λ∈Λ

(3)Λが有限集合ならば、（Ｏλ)λ∈Λの積集合もT(A)に属する
∩Ｏλ∈T(A)
λ∈Λ

をいえれば、T(A)が位相であることがいえると思います。
(1)
C（A）：＝｛S1∩S2・・∩Sn｝｜Sｉ∈Ａ、ｉ∈Ｎ｝
より、φ∈Ａより、S1=S2=・・=Sn=φ
とおくと、φ∈C(A)→φ∈T(A)
Ｔ（A）：＝｛∪λ∈Ω　Bλ｜Bλ∈C(A)、Ωは任意　｝
より、
T(A)の要素は、C(A)の要素の和集合になっている。
今、すべてのＡの要素Ｂは、
S1=B,S2=S3=・・=SN=Aとすると、B∈C(A)なので
Ａ⊆C(A)
∪Ａ=X⊆∪C(A)=C(A)なのでX⊆C(A)
ゆえにX⊆T(A)

(2)
T(A)={∪Bλ|Ｂλ∈C(A)}
　　　λ∈Ω
の形で表されているので、Oλ=∪Bλと考えると
Ｏλ＝∪Ｂλ
　　λ∈Ω
∪Ｏλ＝∪（∪Ｂλ）∈T(A)
λ∈Λ　λ∈Λλ∈Ω

(3)
今、T(A)の任意の二つの要素をとってくると、
Oi,Oj∈T(A)、i,j∈Ωとすると、
Oi=∪Bi=∪{S1∩S2∩・・∩Si}
Oj=∪Bj=∪{S1∩S2∩・・∩Sj}
とおける。
Oi∩Ojを考えると、
Oi∩Oj=∪{S1∩S2∩・・∩Si}∩∪{S1∩S2∩・・∩Sj}
=∪{S1∩S2∩・・∩Si}∩{S1∩S2∩・・∩Sj}
=∪{S1∩S2∩・・∩S[Max(i,j)]}∈T(A)←この書き方ちょっと疑問

なので、T(A)は位相を定める。
となるのではないでしょうか。ちょっと自信ありません。

回答No.1

grothendieck

∪λ∈Ω　Bλという式はλの和集合を取るのではなく，Bλの和集合をとるということなのですね。
(1)の方だけ回答致します。位相の定義より，
1. φ∈T(A), X∈T(A)
2. D1,…DkをT(A)に含まれる有限個の集合としたとき，∩Di∈T(A)
3. Dμ(μ∈Ω')をT(A)に含まれる任意個の集合としたとき，∪Dμ∈T(A)
を示します。

1. φ∈Aよりφ∈C(A)。よってφ∈T(A)。
　Aに含まれる任意の集合はC(A)に含まれる。T(A)はC(A)に含まれる集合の和で表わされる集合を全て含み，∪A=XだからX∈T(A)
2. D1,D2∈T(A)とする。
　D1∩D2 = (∪Bλ)∩(∪Bλ')
　　　　= (∪(∩Si))∩(∪(Sj))
　　　　= ∪(∩Si∩Sj)∈T(A)
3. Dμ(μ∈Ω')をT(A)に含まれる任意個の集合としたとき，
　∪μ∈Ω'Dμ = ∪μ∈Ω'(∪λ∈ΩμBλ)
　　　　= ∪Bν∈T(A)　(∪はν∈∪μ∈Ω'Ωμについての和)
(2)については参考書などを見て考えて下さい。