位相

質問

Xは非空の集合である。
次の定義によって与えられているd:X×X→Rは距離である。
　　d(x,y)=0 (x＝yの時)
　　d(x,y)=1 (x≠yの時)
dをX上の離散距離とする。
このとき、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)であることを示せ。

疑問I
この問題で、まず、任意のXの部分集合Gがｄのもとで開集合になっていることを示せばいいかなと思いました。
(1)G＝φのとき
　これは定義から、開集合です。
(2)G≠φのとき
　Gの中に開球が作れればいいんですよね？？
　でも分かりません。
疑問II
(1)(2)が示せたら、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)をどのように導くか分かりません。

この2つの質問に誰か答えてください！！

回答No.5

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

＞nepiashinさん
何か勘違いされていませんか？　再記しますが、、、

nepiashinさんが示されたことがらは T⊃Ｐ(X) です。

#4では同じことがらですが Ｐ(X)⊂T と表記しました。

これ（"T⊃Ｐ(X)"）と T⊂Ｐ(X) から Ｔ＝Ｐ(X) ではありませんか？

# なお、T⊂Ｐ(X) は T の要素は X の開集合なのですが"X の部分集合"でもあるのは自明です。とゆーか、Xの部分集合でないと "Xの" 開集合であるとか、～集合であるとかは意味を持ち得ません。

お礼

ちょっと勘違いしていました。
今度こそ本当によくわかりました！！
ありがとうございました！！！

回答No.4

鳴瀬 美幸（@naruse）

＞この時 Ｔ⊂Ｐ(ｘ) とはならないんですか？
T は、この距離 d から導かれる距離位相ですよね。
nepiashinさんが示されたことがらは Ｐ(X)⊂T です。

# ご自身で述べたように（ X の）任意の部分集合は、
# この距離位相のもとで開です。
一方、T⊂Ｐ(X) は自明ではありませんか？

補足

問題はＴ＝Ｐ(ｘ)をしめせですが、
Ｔ⊂Ｐ(ｘ)はＴ＝Ｐ(ｘ)ですか？？

回答No.3

鳴瀬 美幸（@naruse）

>任意の ｘ を G から取ってきて、
>半径１、中心 ｘ の開球を作ると、｛ｘ｝⊂Gとなり、よって開集合ですよね？
問題ありません。ちょっと補足すれば
x ∈ { x } ⊂G
の方がよいのかな。(任意の) x は G の内点を示したい訳ですから。

お礼

とても参考になりました。
ありがとうございました！！

補足

あと、最後の疑問なんですが、
開集合のユニオンは開集合ですが、
この時Ｔ⊂Ｐ(ｘ)とはならないんですか？

回答No.2

鳴瀬 美幸（@naruse）

> d を X 上の離散距離とする。
はて、この表現は？
離散距離と呼ばれるものが既にあって（定義されていて）それと、この d が一致することを示すのですか？

# それはさておいて、
> 疑問I
> この問題で、まず、X の任意の部分集合 G が d のもとで開集合に
> なっていることを示せばいいかなと思いました。
それでOkです。

> G の中に開球が作れればいいんですよね？？
おおまかには、それでOkです。正確には G の各点 x について x を中心とする適当な開球で G に含まれるものを作るです。
# xを中心とする半径2や半径0.4の開球はどんな集合でしょうか？

> 疑問II
開集合の任意個の和も開集合です。

補足

質問です！！
開球は何でも良いんですか？？
例えば、
任意のｘをGから取ってきて、
半径１、中心ｘの開球を作ると、｛ｘ｝⊂Gとなり、よって開集合ですよね？？

回答No.1

ojisan7

次の（１）から（４）まで順次考えていけばよいような気がします。

（１）離散距離の定義より、Ｘの任意の点は開集合です。
（２）Ｇの開球はＧの任意の部分集合です。
（３）Ｘの任意の部分集合は開集合です。
（４）Ｘ上に距離ｄによって定まる位相は、離散位相で　　　　す。