わからない教えてください。位相数学

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2672839.htmlで質問したものです。位相数学でわからないことがあります。教えてください

松坂和夫の集合・位相入門（４４刷）の第4章についてわかりません。

甲）
ｐ１５２にこんなことが書いてあります。ただ、ここにQに似た文字が出てきて、Qを横にしたものがでてきます。いかこのQをよこ向きにしたものをQと表記します。またфの表記は本当はこれではありません。なんかみたことない記号です。似ているこのфで代用します。φは空集合のきごうです。

Sを一つの空でない集合とする。Sの部分集合系（すなわちф（S）の部分集合系）が次の3条件をみたすとき、QはSにひとつの位相構造を定める。あるいは簡単に、QはSにおける一つの位相であるという。

Oⅰ）S∈Qおよびφ∈Q
Oⅱ）Ο１∈Q、Ο２∈QならばΟ１∩Ο２∈Q
Oⅲ）（Ολ）λ∈∧　をQの元からなる任意の集合族（すなわち、添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈∧に対してΟλ）とすれば∪Ολ∈Q　

と表記されています。なおΟλというのはΟλのλは添え字でちっちゃいです。Ο１も同様に数字は添え字です。正直書いてある意味がわかりません。これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、前の質問の
”空でない集合Xの位相Oとはなにか”でXがSに対応して、OがQに対応するんですか？

乙）
（S、Q）を一つの位相空間とする。以下これをSと書く。この位相空間の閉集合系をΨとする。
Q∩Ψ＝｛S、φ｝であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。

この二つの事柄について教えてもらえないでしょうか？具体的な事例を示してもらえれば納得できるかも。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>残念ながら、ちゃんと読んでいるとは言えないようです。

同感です．前の質問でもそうでしたが・・・
何が定義で，どういう表記で何を表すのかとかが
整理できてない感じですね
ノートを作って一個一個自分で整理しないと
この手の数学の本はよめません．
この本は基本的ですけど立派な数学の専門書です．
小説のようにつらつら読んでるだけだと
「ちゃんと読んでる」にはなりません．

>その円の中集合のあつまりということでしょうか？
その円の中「の」集合の集まりということです．
「系」についての説明がありませんでしたか？
＃他の本だと「族」なんて書いてあるかも．
「集合の集合」というのは極めて微妙な問題をはらんでいるので
慎重に記述されているか，何らかの注意書きがあるはずです．
例えば，本書ではとりあえず素朴集合論で考えるとかいう言明．

>の中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。
では，{1,2,3} は何なのかわかりますか？
最初の方に書いてませんか？
集合の「外延的表記」「内延的表記」とかでてませんか？
{1,2,3}={x | xは整数，0<x<4} みたいな例がありませんか？

{1}は要素が1のみの集合
だったら，{p}は要素がpのみの集合です．
{1,2}の部分集合の集合は{φ,{1},{2},{1,2}}だということは
わかりますか？
部分集合の集合は要素が集合である集合の一種です．

>Sがただ１つの元から成る集合S＝｛ｐ｝ならば、Sにおける位相は明らかにQ＝｛φ、S｝のみである

Sの部分集合全体が分かりますか？
位相を定義するための「開集合系」は
部分集合全体の集合（ベキ集合という）の部分集合です．
Sの部分集合全体が分かれば，{φ,S}が位相（正確には開集合系）で
あるのは，定義より明らかです（定義の条件1そのもの）．

>Q∩Ψ＝｛S、φ｝であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。

何もかも一足飛びに理解はできません．
位相の定義を理解できていない段階で
「連結」の定義を理解できていますか？
この手のもには「連結」という言葉のイメージはとりあえず忘れて
定義に愚直に当てはめて考えるしかありません．

お礼

ちょっと自分なりに考えて冷静にやってみたら29個かけました。
またわからないこと教えてください。とりあえずこれは締め切ります。
ありがとうございやした

補足

＞＞最初の方に書いてませんか？
＞＞集合の「外延的表記」「内延的表記」とかでてませんか？
＞＞{1,2,3}={x | xは整数，0<x<4} みたいな例がありませんか？

書いてありました。なるほど、そっかそれなんだ。ごめんなさい

{1}は要素が1のみの集合
だったら，{p}は要素がpのみの集合です．
{1,2}の部分集合の集合は{φ,{1},{2},{1,2}}だということは
わかりますか？

そうかわかる、これは部分集合の集合か！！
部分集合には、｛φ｝、｛１｝、｛２｝、｛１、２｝があって。それを
さらにあつめて、こういう表記になっているんですね。あと、こう書いてもOKですか？
S＝｛１、２｝
この部分集合の集合を｛φ,{1},{2},S｝って書いてもOKですか？

あともう一つ疑問があります。Sが三つの元S=｛p, q, r｝からなるときには位相は29個あるとなっています。なぜ29個なのかわかりません。
だって、これの部分集合は｛φ｝、｛ｐ｝、｛ｑ｝、｛ｒ｝、
｛ｐ、ｑ｝、｛ｐ、ｒ｝、｛ｑ、ｒ｝｛ｐ、ｑ、ｒ｝の８つじゃないのでしょうか？

回答No.2

koko_u

>この中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。
残念ながら、ちゃんと読んでいるとは言えないようです。

回答No.1

koko_u

いずれも定義なので「そういうことです」としかコメントしようがない。

普通の参考書であれば、定義と前後して具体的な例や定義の意図すること。さらにこの定義と直感的に親しみ深い距離空間との関係などが述べられていると思うのだが。

>これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、
普通の参考書であれば、太字で「定義」とタイトルされて内容が字下げされていたりするはず。

#152ページまで順に読んでる？

お礼

そういえば具体的な事例がのっていますが、これも意味わかりません。

a)
Sがただ１つの元から成る集合S＝｛ｐ｝ならば、Sにおける位相は明らかにQ＝｛φ、S｝のみである

b)
Sがただ２つの元から成る集合S＝｛ｐ、ｑ｝ならば、容易にわかるようにSにおける位相には次の4つがある。Q１＝｛φ、S｝、Q２＝｛φ、｛ｐ｝S｝、Q３＝｛φ、｛ｑ｝、S｝、
Q４＝｛φ、｛ｐ｝、｛ｑ｝、S｝＝ф（S）

って書いてあります。この中括弧のなかの中括弧はなんなのか意味不明です。｛φ、｛ｐ｝、｛ｑ｝、S｝の｛ｐ｝が意味不明です。

c)

補足

ちゃんと読んでいます。あとちょっと間違えました。

Sの部分集合系（すなわちф（S）の部分集合系）は

Sの部分集合系（すなわちф（S）の部分集合系）Qの間違いでした。
部分集合系ってなんですか？部分集合の集まりですか。
例えば、１≧ｘ＾２＋ｙ＾２　なら、中心（０、０）の円の半径１の円の中をSとして、その部分集合というのは、その円の中集合のあつまりということでしょうか？