位相空間で困ってます！

質問

独学で位相空間を勉強していますが、さっぱり分かりません。
参考書を読んでも、何がなんだか分からなくなってしまってる状態です。
まったく分からない相手に教えると思って、教えてくださるとありがたいです。
否定の線―が上に書けなかったので見にくいですが、よろしくお願いします。

位相空間（Ｘ，Ｔ）とする。
自然数の集合Ｎ＝{1,2,3…}を添字集合とするＸの部分集合族{Ａn：ｎ∊Ｎ}を考える。
Ａｎ＝｛１/n｝⊂Ｒとおくとき、
Ｕ｛Ａｎ：ｎ∊Ｎ｝〈←Ａｎの上だけに―があります〉　と　Ｕ｛Ａｎ：ｎ∊Ｎ｝〈←上すべてに―があります〉
とは等しいかどうかを述べ、証明せよ。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

#2です。

＞問題の証明の書き方で気をつけた方がいいことなどあれば教えていただきたいとありがたいです！！

　独学でやる場合、自分で納得できれば良いんですよ。自分の証明に、間違いない！というイメージを持てるならば・・・。こう考えれば明らかだ！、と思えるならば。自分は、感覚的に位相論を理解している！と、思えるならば・・・。

　ご質問の状況では、位相（実数の開集合族）が限定されているので、証明は通常の距離空間（距離関数）をそのまま使用すれば良いだろう、という事になります。つまり通常のε－δ論法で、ガリガリやるだけです。それが一番素直です。位相空間論は、あくまで一般論ですから。

　それより問題なのは、

＞位相空間そのもののイメージがまったくわかずに・・・

という点だと思います。どんな抽象的議論にも、理論の目的や動機付けはあります。駄文ですが、次を読んでみて下さい。

　http://okwave.jp/qa/q4723204.html

のAno.3です。

　という訳で、いちおう紹介はしたものの、次のように言います。

　　・それでも、意味なんか考えなくたって、位相はできます．

　これも現実です・・・(^^；)。

お礼

＞どんな抽象的議論にも、理論の目的や動機付けはあります。
本当にその通りだと思います。
その目的や動機付けが、まだ見えてきてない不安があります(^_^;)
なんとなくこんな感じなのかな？というのが見えるときと、まったくもって見えないときを繰り返しています。

親切に教えてくださって本当に助かりました。
どうもありがとうございました（*^_^*）

回答No.2

noname#221368

#1です。自分も一般位相論を、独学でやりました。辛いですよね・・・(^^；)。そしてけっこう、結果しかおぼえてません。それでもけっこう役に立ちます。

＞・・・Ｘ＝Ｒというのは、問題で、Ｘの部分集合族{Ａn：ｎ∊Ｎ}、Ａｎ＝｛１/n｝⊂Ｒとおくとき～と書かれてることから・・・

　そのように受け取ったのですが・・・(^^；)。

＞問題には（Ｘ、Ｔ）のＴのみギリシャ文字のような筆記体のような字体で書いてあるんですが、・・・

　対（Ｘ、Ｔ）の事を、どこまでも即物的記述が好きな数学は、位相空間とか位相構造とか言うはずです。Ｘは位相が定義される、土台となる集合（無構造）とか言われます。

　ギリシャ文字のようなＴですが、たぶんフランス語の筆記体のＴで、もちろんTopologyのＴです。具体的には、Ｘに位相を定義する、Ｘの開集合族（集合の集合）を表します。この後、フィルターの概念が出てくるかどうかわかりませんが（本によります）、フィルターも、収束を扱うためのＸの部分集合の族の事で、ギリシャ文字のようなＦで書かれる時もあります。自分はもちろん、「Ｆ」で代用してます(^^)。

　「位相空間（Ｘ，Ｔ）」は、常套句のようです。

補足

位相空間そのもののイメージがまったくわかずに、ただ定義を覚えようとしていたので、Ｘ＝Ｒということが気付きませんでした(>_<)
「位相空間（Ｘ，Ｔ）」は、常套句なんですね。

問題の証明の書き方で気をつけた方がいいことなどあれば教えていただきたいとありがたいです！！

回答No.1

noname#221368

Ａｎの上―とは、Ａｎの閉包の事ですか？。だとすればＡｎの閉包を、ここでは[Ａｎ]と書きます。

　Ｕ｛[Ａｎ]：ｎ∊Ｎ｝は、Ｂ＝[Ａ1]∪[Ａ2]∪・・・　を表してますか？。だとすればここでは、Ｂ＝∪[Ａｎ]　と書きます。

　問題の条件は、Ｘ＝Ｒで、Ｔは実数の（ふつうの）位相で良いですか？。

　以下、上記の前提で書きます。

　本当はちゃんとやるべきですが、Ｔが実数の位相なので、実数の中の一点集合Ａｎ＝｛１/n｝の閉包[Ａｎ]は、[Ａｎ]＝Ａｎになります。Ａｎが「点」だからです。{Ａｎ}は、１/nで0に収束する点列です。

　よって、Ｂ＝∪[Ａｎ]＝∪Ａｎ　となり、0はＢの要素ではありません。しかし0は明らかに、Ｂ＝∪Ａｎの集積点で、0∈[Ｂ]＝[∪Ａｎ]です。{Ａｎ}が、１/nで0に収束する点列だからです。

　従って、真にＢ⊂[Ｂ]となり、Ｂ≠[Ｂ]です。

補足

Anの上の―は閉包です！
Ｕ｛[Ａｎ]：ｎ∊Ｎ｝はＢ＝[Ａ１]Ｕ[Ａ２]Ｕ…です！
問題には（Ｘ、Ｔ）のＴのみギリシャ文字のような筆記体のような字体で書いてあるんですが、特に指示はないので実数でいいのだと思います。
分かりにくく書いてしまってスミマセン。

初歩的な質問で申し訳ないのですが、Ｘ＝Ｒというのは、問題で、Ｘの部分集合族{Ａn：ｎ∊Ｎ}、Ａｎ＝｛１/n｝⊂Ｒとおくとき～と書かれてることからでしょうか？？