位相についてのご質問です。

質問

位相について質問です。
「集合Sの部分集合族Kが
(1)O(空集合)、SがKに含まれる
(2)集合A,BがKに含まれるならAとBの共通集合もKに含まれる。
(3)任意のKの元Fmに対してFmの全和集合もKに含まれる。
以上を満たす時,KはSに位相を与えるといい(S,K)を位相空間という。
そして、Kの元を開集合といいKを開集合系という。」
このKの元を開集合といいという所からさっぱり分かりません。
どこがどう開集合なんですか？
例えばS={1,2,3}とすればK={O,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
となってこれは(1)から(3)を満たすので(S,K)は位相空間でKの元は開集合にもなってないと思うのですが。

回答No.3

HANANOKEIJ · ベストアンサー

位相数学、位相空間を学ぶのは、大変でしょう。微分積分の基礎の、極限、収束を厳密にやっていくと、εδ論法がでてきます。ε近傍とδ近傍とｘからｙへの連続写像がセットで登場します。
実数の連続性と、実数のなかに、極限という、近い遠いという距離の考えかたが、埋もれている、その距離を抽象したものが、開集合です。
経済学の研究の出発点に商品があります。その商品が、位相空間の開集合にあたるのではないでしょうか？商品にたどりつくまでは、現実のありとあらゆる物質世界の中の、最小単位まで、下降してきます。分析ですね。ここから、上向して、現実の社会にもどるのですが、どんなものでも上向できるわけではありません。
もう一度、距離空間から、位相空間へ、降りてくる過程を学習してみてください。位相空間のめざす到達点は、実数と実数の関数の連続性、極限、収束などの世界であることを、いつも思い出してください。
無味乾燥、真っ暗な闇の中を手探りで進む苦しさの、灯明として、微分積分の基礎を思い出してください。

お礼

今後とも頑張ります。分からないところあるかもしれませんが、発想を切り替えることも大切なので何がどう大事かを把握するようにしていきます。回答ありがとうございました

回答No.2

kabaokaba

========引用はじめ
例えば、S={3}とすればSの部分集合系Kは
K={O,{3}}となる。Oは空集合とした。
もしもKの元が開集合であるなら、{3}は開集合なのでは？
しかし、{3}は開集合でなく閉集合です。{3}=[3,3]と表せる！
=========引用終わり

あーあー，やっぱりねー．
ちがいます，
S={3}としたとき，K={φ,{3}}は位相です．
なぜなら，位相の定義を満たしているから．
{3}は「この位相において」開集合です．

ちなみに，S={φ}とかして，K={φ,{φ}}としたって
まったく同じです．これなら，実数と混同することはないでしょう．

いいですか？
あなたは「実数の自然な位相」しかこの世に位相がないと
思い込んでますが，それは間違いです．
あなたが知っている位相は，実数に入れることができる位相の
一個（ただし，もっとも有名で有益なもの）でしかありません．

位相というのは，その「三つの条件」を満たす
集合族のことをいうのです．
そして，その集合族の元を開集合というのです．
あなたの知っているものは，あくまでもその一例にすぎません．
発想を切り替えてください．
同じ集合に異なる位相があることは普通のことです．

＃って・・最初の回答で同じ様なこと書いても
＃ああいう補足だったからなあ・・・

お礼

回答ありがとうございます。もう少しいろいろな考えがあるということをもっと私は知るべきでした。・・・と定義するというのも定義は定義と発想を切り替えることは大切ですね。

回答No.1

kabaokaba

＞どこがどう開集合なんですか？

では逆にたずねます．
あなたのいう「開集合」とは何ですか？
あなたの採用している「開集合の定義」とは何ですか？
＃大体想像がつきますが，こういう「定義の問題」を
＃想像ですすめるとろくなことにならないものです

＞S={1,2,3}とすればK={O,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
＞となってこれは(1)から(3)を満たすので(S,K)は位相空間で
＞Kの元は開集合にもなってないと思うのですが。
あなたが質問文中であげた「開集合の定義」の意味おいて
(S,K)は位相空間であり，Kの元は開集合です．
これは「離散位相」と呼ばれる基本的な位相です．
ちなみにK={φ,S}とするだけでも(S,K)は位相空間となり，
これは「密着位相」といいます．
これら二つの位相の存在によって
「任意の集合は位相空間とすることができる」ことが
分かります．
ここで重要なのは，
・一つの集合に対して，異なる位相を導入することができる
・位相が導入できたとしてもその位相が有意義かどうかは別問題
であるということです．

===========
「どこがどう開集合か？」ではなく
質問文中の条件を満たすものが開集合であると
定義するのです．
この条件は，たぶんあなたが理解しているであろう開集合の
性質の本質を精密に抽出した，先人の偉大なる知恵の結晶です．

補足

例えば、S={3}とすればSの部分集合系Kは
K={O,{3}}となる。Oは空集合とした。
もしもKの元が開集合であるなら、{3}は開集合なのでは？
しかし、{3}は開集合でなく閉集合です。{3}=[3,3]と表せる！