位相空間

質問

位相初心者です。次の問題がよく分かりません。

問．実数直線R1の位相をTとする。
　　BをTに各無理数についてそれだけを元とするRの部分集合を
　　すべてつけ加えたRの部分集合族
　　　　B＝T ∪ {{x}:x∈P}
　　とする。このBにおいて生成されたR上の位相T_Mに対して、
　　位相空間(R，T_M)をMで表す。

　　このMについて、次を求めよ。（証明付きで。)
　(1) i(Q)、i(P) (iは内部を表す。)
　(2) Qの閉包、Pの閉包

(1)は、Qは有理数全体の集合だから、Qに含まれるMの開集合全体の
和集合は、Φ となる。
(2)も同様に、Qを含むMの閉集合全体の共通集合はQである。

こんな感じでいいのでしょうか。もっと適当な証明があれば、
教えてください。

回答No.3

rinkun · ベストアンサー

(1)だけ簡単に。
Q上の任意の一点を取ったとき、その点を含む開集合はRの通常の位相と同様に区間を含む(※)。区間はQに含まれないからこの点は内点ではない。従ってQに内点はないからi(Q)は空集合である。
P上の任意の一点について、その点のみからなる集合はT_Mの開集合である。この開集合はPに含まれるからこの点は内点である。従ってPの任意の点が内点なのでi(P)=Pである。

最低でもこれくらいは書かないと点が付かないだろうね。要点は内点の定義に従って具体的にT_Mの開集合を取って議論すること。
※の部分はもうちょっと詳細にした方が良いかもね。他の部分も分かり難かったらもう少し詳細にしておいた方が良いよ。

お礼

＞要点は内点の定義に従って具体的にT_Mの開集合を取って議論すること。

親切に教えていただいて、ありがとうございました。
テキストには、上の問題の「位相空間をMichael直線という」
という定義しか載っていなくて、そこから問題を証明しなくては
ならなかったので、どうしていいか分からなかったのです。

今度からは、もう少し適切な質問をしようと思いました。
証明の例や要点を教えていただいて助かりました。

回答No.2

koko_u_

>こんな感じでいいのでしょうか。
多分 0点

ANo.1 の方も指摘しておられますが、M は一般的な R1 の位相ではありません。このため、

>Qに含まれるMの開集合全体の和集合は、Φ となる。
などとイキナリ書いても点数はもらえません。
空集合になると思うのであれば、地道に U を Q に含まれる「開集合」とすると、U について何が言えるのかを順序立てて論述して下さい。

# 私は内容を検討していないので、これ以上の助言はしません。

回答No.1

rinkun

書いている範囲に間違いはないようだけど、それで証明になってる?
T_Mという特殊な位相を作っているんだから、それを使った証明をしないといけないよ。
あと、(1)(2)ともPについての記述がないね。

補足

すみません。
証明がわからないから質問したんですけど。（Pについても。）

「例えばこういう証明があります。」とか、
「こういう筋道で証明してはどうですか。」などの
回答を期待していました。