具体的な式が与えられていない関数の問題

質問

閲覧ありがとうございます。

問　　関数f(x)はすべて正の実数に対して定義され、任意の正の実数s,tに対して f(s+t)/(s+t)≦f(s)/s が成立するという。このとき、任意の正の実数に対して f(s+t)≦f(s)+f(t) が成り立つことを証明せよ。

一番最初の条件式をいじくってみたのですが、いまいちしっくりきませんでした。実際に具体例を立ててみたりもしたのですが、証明の解答にするにはあまりにお粗末なものだったのであきらめてしまいました。
この問題に関しては全く自分では証明の方針が立ちません・・・
どなたか証明の方針を教えてもらえないでしょうか。

説明が下手ですいません。
最後まで閲覧ありがとうございます！

回答No.3

htms42

図を描いてみましたか。

ｘ－ｙ座標で考えます。
ｘ＝ｓのところ、ｙ＝ｆ(s)に点Ａを取ります。（適当に点を打つということです。）
ｆ(s)／ｓというのはその点と原点Ｏを結んだ直線の傾きですね。
ｓからｔ離れた場所にまた点Ｂを取ります。その点の高さ（＝ｙ座標）がｆ(ｓ＋ｔ)です。その点と原点を結んだ線の勾配がｆ(ｓ＋ｔ)/(ｓ＋ｔ)です。ｆ(ｓ＋ｔ)/(ｓ＋ｔ)≦ｆ(ｓ)/ｓですからＯＢはＯＡを延長した線よりも下に来ます。
ｙ＝ｆ(ｘ)は原点を通る上に凸なグラフになるでしょう。
ｆ(ｘ)のイメージはこういうものです。

直線ＯＡを表す式は
ｙ＝(ｆ(s)/ｓ)ｘ
です。
ｆ(ｓ＋ｔ)＝ｆ(ｓ)＋ｆ(ｔ)
の成り立つ関数ｆは原点を通る直線です。
ｓ＝ｔと置いてみればｆ(２ｓ)＝２ｆ(ｓ)が成り立ちます。
ｓ＝０と置いてみればｆ(ｔ)＝ｆ(０)＋ｆ(ｔ)です。

ｆ(ｓ＋ｔ)≦ｆ(ｓ)＋ｆ(ｔ)
が成り立てばｆは原点を通る直線よりも下に来るということになります。
こういうイメージでもう少しきちんとまとめればいいでしょう。

回答No.2

mister_moonlight

問題文が、本当にそのようだったんだろうか？

関数f(x)はすべて正の実数に対して定義され、任意の正の実数x、yに対して f(x+y)/(x+y)≦f(x)/x が成立するという。このとき、任意の正の実数s、tに対して f(s+t)≦f(s)+f(t) が成り立つことを証明せよ。

じやないんだろうか？　f(x)が何処にも生かされていない。

sとtは共に正から、分母を払うと、sとtに対して、s*f(s+t)≦（s+t）*f(s)。　t*f(s+t)≦（s+t）*f(t)。　

従って、加えると、（s+t）*f(s+t)≦（s+t）*{f(s)＋f(t)}
s+t＞0より、f(s+t)≦f(s)＋f(t)。

回答No.1

arrysthmia

｛s/(s+t)｝f(s+t) ≦ f(s),
｛t/(s+t)｝f(s+t) ≦ f(t)
ってことでしょ？