高校数学の問題です。

質問

以下の問題の（2）（3）について教えてください。

実数全体を定義域とする関数 f(x) = 2^3x －9・2^2x+1 ＋15・2^x+2 について、
次の問いに答えよ。
※「2の3x乗」、「-9・2の2x+1乗」、「+15・2のx+2乗」

(1) 2^x = t とおく。関数 f(x) を t で表し、得られた t の関数を g(t) とおく。
　　関数 g(t) の増減と極値を調べ、 y = g(t) のグラフをかけ。
　　ただし、g(t) の定義域は、x が実数全体を動くときに t が動く範囲とする。

　　=>これはできました。

(2) 方程式 f(x) = k が異なる正の解2個と負の解1個をもつような実数の定数 k
の値の範囲を求めよ。

(3) k が(2)で求めた範囲を動くとき、方程式 f(x) = k の3個の解の和のとり得る
　　値の範囲を求めよ。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

数式が読みにくくて、誤解しそうです。せめて

f(x) = 2^(3x) －9・2^(2x+1) ＋15・2^(x+2)　　(1)

のように指数部分は（　）かっこをつけるぐらいの工夫をしてください。

※「2の3x乗」、「-9・2の2x+1乗」、「+15・2のx+2乗」

はかえって解りにくい。

(1)の解釈のもとに計算します。

（1）

g(t)=t^3-18t^2+60t (t>0)

g'(t)=3t^2-36t+20=3(t-2)(t-10)

ｔ>0でt=2のとき極大値56、t=10で極小値-200をとるグラフ、増減表を完備すること。

（2）

これは（1）で書いたg(t)のグラフをf(x)に書き直すことが求められています。可能な限り正しく書いてください。

極小値、極大値は同じですがそれを与えるxの値はx=log(2)t (底を2とする対数）

から各々1,log(2)10です。

x=0のときf(x)=43

ｘ＜0のときxの減少とともに0に漸近することがわかりますか。

以上ができれば、

方程式 f(x) = k が異なる正の解2個と負の解1個をもつような実数の定数 kの値の範囲は

0<k<43です。

（3）これは考えた問題ですね。

3次方程式

y=ax^3+bx^2+cx+d=0

の3根の和は-b/aですが

y=a(2^x)^3+b(2^x)^2+c(2^x)+d=0

の場合は３根をα、β、γとすると

2^α+2^β+2^γ=-b/a

となり趣旨が違います。

３根の積が

2^α*2^β*2^γ=2^(α+β+γ)となるのでこれを用います。

f(x)=k

より

(2^x)^3-18(2^x)^2+60(2^x)-k=0

2^(α+β+γ)=k

α+β+γ=log(2)k

(2)の結果より

α+β+γ≦log(2)43

お礼

わかりづらい数式の記載にも関わらず、
とても詳しく解説していただきどうもありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
こっちはもうちょっとややこしいですね。＾＾

何がややこしいかというと、f(x)と g(t)という 2つの関数と
それを用いた方程式が出てくることです。
ただ、2^x＝ tより x＝ log[2](t)　（底を 2とする対数）として表されることからも
xと tは 1対1の対応をしています。
このことを頭に入れておいて・・・

(2)
単に方程式：g(t)＝ kの解を考えることになります。
ただし、xが負であることは tが「〇より△△△こと」であり、
xが正であることは tが「〇より◇◇◇こと」であることに注意です。

(3)
方程式：f(x)＝ kの解が x＝ a, b, cであったとすると、
a＝ log[2](α), b＝ log[2](β), c＝ log[2](γ)

と表されることになります。
ここで、α, β, γは方程式：g(t)＝ kの解を表しています。

いま最終的に考えなければならないのは、a+ b+ cのとりうる値の範囲です。
a+ b+ c＝ log[2](αβγ)

αβγは方程式：g(t)＝ kの解と係数の関係から、kを用いて表すことができます。
あとは、(2)で求めた範囲で a+ b+ cがどうなるかを調べます。

ゴールが何かを見極められれば、そんなに難しくはない問題です。

お礼

先ほどの問題に引き続き、ご回答いただきどうもありがとうございます。
教えていただいたヒントで解くことができました！！