関数の問題で困っています。

質問

f(х)は任意の実数хに対して定義された実数値関数である。
　　f(х)+f(х-1)=х^2
を満たし、かつ
　　f(19)=94
である。このとき、f(94)を1000で割った余りを求めよ。

パシッと解ける解法があったら教えて下さい。

回答No.2

noname#47894 · ベストアンサー

f(х＋1)+f(х)=(х+1)^2
f(х)+f(х-1)=х^2

より、辺々引いて
f(х＋1)-f(х-1)＝(х+1)^2-х^2=2x+1

これより
f(94)-f(92)=2×93+1
f(92)-f(90)=2×91+1
..................
f(20)-f(18)=2×19+1

辺々加えて、f(94)-f(18)=Σ右辺（自力で計算してください）
あとは、f(18)を条件から出せば、f(94)を求められます。

関数の問題というよりは、数列の問題として扱ったほうが良いと思われます。

検討していませんが、たぶん、回答No.1は違っています。
（偶数番号と奇数番号を組にしているので、最後は20-19組となり、18が余るはず）

回答No.4

nekoron07

No.1です。
すみません。No.2さんの言うとおり、間違ってました（汗）。
正しくは

f(94)=94^2-f(93)
　　=94^2-(93^2-f(92))
　　=94^2-93^2+(92^2-f(91))
　　=94^2-93^2+92^2-91^2+90^2-89^2+…+20^2-19^2+f(18)
　　=(94^2-93^2)+(92^2-91^2)+(90^2-89^2)+…+(20^2-19^2)+19^2-94
　　=(94-93)(94+93)+(92-91)(92+91)+(90-89)(90+89)+…+(20-19)(20+19)+267
　　=1*187+1*183+1*179+…+1*39+267
　　=(187+39)*19+267
　　=4561

で
f(94)/1000=4...561
かな？

回答No.3

info22

以下のようになりました。
正しいか自分でチェックして下さい。

f(94)=94^2-f(93)
f(93)=93^2-f(92)
f(92)=92^2-f(91)
f(91)=91^2-f(90)
…
f(21)=21^2-f(20)
f(20)=20^2-f(19)

f(94)=94^2-f(93)=94^2-93^2+f(92)
=94^2-93^2+92^2-f(91)
=94^2-93^2+92^2-91^2+f(90)
…
=94^2-93^2+92^2-91^2+90^2-…+20^2-f(19)
=4655-94=4561

f(94) mod 1000=4561 mod 1000=561…(答)

注）公式 ＝Σ[k=1, n] {(-1)^k}*(k^2)
＝(1/2){(-1)^n}*n(n+1)
94^2-93^2+92^2-91^2+90^2-…+20^2
＝Σ[k=1, 94] {(-1)^k}*(k^2)－Σ[k=1, 19] {(-1)^k}*(k^2)
＝4655

回答No.1

nekoron07

求められている解法がどうかはわかりませんが…

f(x)=x^2-f(x-1)　より
f(94)=94^2-f(93)
=94^2-(93^2-f(92))
=94^2-93^2+(92^2-f(91))
=94^2-93^2+92^2-91^2+90^2-89^2+…+20^2-19^2+f(19)
=(94^2-93^2)+(92^2-91^2)+(90^2-89^2)+…+(20^2-19^2)+94
=(94-93)(94+93)+(92-91)(92+91)+(90-89)(90+89)+…+(20-19)(20+19)+94
=1*187+1*183+1*179+…+1*39+94
=(187+39)*19+94
=4388

なので f(94)/1000=4...388

でしょうか。間違ってたらごめんなさい。