関数の変数

質問

（問題）ｆ（ｘ）＝３ｘ＋∫（０～π）ｆ（ｔ）sintdtを求めよ。
ｆという関数（写像）に２つの文字を使っているのですが、この2つの文字はどう考えればよいのですか?
関数ｆ（）の（）に入る、任意の要素としてｘを当てることが多く、（）の任意の要素はすべてｘ＝□という形で表されます。
たとえば、ｆ（ｘ）＝２ｘならばｘの定義域が実数全体ならばｘ＝１、ｘ＝２という形ですべて表されます。
上の問題ではｔとｘという2つの文字はどう考えればよいのでしょうか?

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

tは積分の中だけで使われる変数。
別の名前でもなんでも良いのです。

Σ[k=1~n]k^2

なども同じで、kの代わりにjを使ってもよいし、
結果にはnしかでてきません。

このように、式の中で置換されてしまう変数を
「束縛変数」といいます。

お礼

ありがとうございました

回答No.3

High_Score

積分内にある変数はtのみで、しかもtも定積分計算により無くなるので、結局定数になります。積分結果が定数なので、tをxにしても同じです。

sint=(-cost)'なので、右辺だい2項は部分積分の公式により
[-f(t)cost]+∫{f(t)}'costdt=f(π)+f(0)+∫{f(t)}'costdt
元の方程式の両辺をxで微分すると
{f(x)}'=3
を得られるので、積分に代入すると
f(π)+f(0)+∫3costdt=f(π)+f(0)
よって元の方程式は
f(x)=3x+f(π)+f(0)
x=0を代入 f(0)=f(π)+f(0) f(0)=f(π)=0
∴f(x)=3x

お礼

ありがとうございました

回答No.2

spring135

ｆ（ｘ）＝３ｘ＋∫（０～π）ｆ（ｔ）sintdt　　　(1)

右辺の後半は定積分なので定数、したがって

f(x)=3x+c

これを(1)に代入して

f(x)=3x+∫（０～π）(3t+c)sintdt　

=3x+3∫(0~π)tsintdt+c∫(0~π)sintdt　　　

=3x+3I+cJ

I=∫(0~π)tsintdt=[t(-cost)](0~π)-∫(0~π)[-cost]dt

=π+[sint)](0~π)=π

J=∫(0~π)sintdt=[-cost)](0~π)=2

f(x)=3x+3π+2c=3x+c

c=-3π

f(x)=3x-3π

お礼

ありがとうございました

回答No.1

yyssaa

＞∫（０～π）ｆ（ｔ）sintdtは定数だから
f(x)=3x+C(定数)として
f(x)=3x+∫(0～π)(3t+C)sintdtと考える。

お礼

ありがとうございました