数列の問題、関数の問題

質問

nが自然数でn＾n/n!≦e＾nとなることの証明。
任意の実数ｘに対し関数f(x)が常にf(x)=f(2x)を満たしており、
x=0で連続であるとき、f(x)が常に定数であることを示せ。

大学の教科書に書いてあった問題です。詳しい証明お願いします。

回答No.2

taka517 · ベストアンサー

ひとつめは数学的帰納法を使えばOKかと。
詳しいのは長くなるので無理っす。

n=1で成立する。n=kで成立を仮定すると
k^k/k! ≦ e^k (1)
(1 + 1/x)^x　が単調増加関数でかつ極限値がeなので(証明略)
(1 + 1/k)^k ≦ e (2)

(1の左辺)*(2の左辺)
=(k^k/k!)*((K+1)/k)^k
=((k+1)^k)/k!
=((k+1)^(k+1))/(k+1)!

(1の右辺)*(2の右辺)
=e^(k+1)
(1)(2)の両辺いずれも正なので、大小関係は不変。よってn=k+1の時も成立。

・・てな感じで。

ふたつめは面倒そうだなぁ・・。パッと思いつかないや。
とりあえずf'(0)=0を出してごちゃごちゃしそうな感じですねぇ。

お礼

回答ありがとうございます。書店で買った教科書で解答が省略されていて困っていました。１番目のはわかりました。２番目がわかるよう何とかしたいと思います。

回答No.3

33550336

丸投げ禁止です。
自分の解答を補足欄にどうぞ。
どうしてもわからないのなら軽くヒントだけ。
前半は帰納法で、後半はアルキメデスの公理を使えば示せます。

お礼

返答がなくて残念です。どうもありがとうございました。

補足

帰納法でf(x)=f(x/2＾n)（ｎが自然数）を示して
-n≦ｘ≦nでf(x)
-n/2＾n≦x/2＾n≦n/2＾nでf(x/2＾n)を考えると条件より
ｎ→∞のとき
常にｆ(x)=f(0)

もしかしたらアホなミスをしてるかもしれません。アルキメデスの公理を使うって言うのはすいませんけどわかりません・・・

回答No.1

koko_u_

>大学の教科書に書いてあった問題です。
ということは貴方は大学生なのですね。以下略