微分について

質問

すべての実数xについて関数f(x)が
｜f'(x)｜< 1/2
を満たすとき、任意の実数x、y (x≠y)で
｜(f(x)-f(y))/(x-y)｜< 1/2
が成立する

これの証明がわかりません。微分の定義で証明しようとしましたけれどわかりませんでした。証明を教えてください。あと、右辺は正数ならすべてにおいて成立しますか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

平均値の定理を使うなら対偶を証明する.
微分積分学の基本定理を使っていいなら -1/2 < f'(x) < 1/2 を定積分すれば終わり.

回答No.5

noname#108210

対偶命題なら

ある実数x1,y1で
｜(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)｜≧ 1/2とすると，
平均値の定理から
x1<x<y1を満たす実数xが存在して
｜(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)｜=｜f'(x)｜
したがって，ある実数xで
｜(f(x1)-f(y1))/(x1-y1)｜≧ 1/2

>あと、右辺は正数ならすべてにおいて成立しますか？
証明から分かるように，成立します。

回答No.3

nag0720

狭義の単調減少関数の性質を使っていいなら、背理法で。

あるx0,y0（x0＞y0）で、(f(x0)-f(y0))/(x0-y0)≧ 1/2　とする。
（(f(x0)-f(y0))/(x0-y0)≦ -1/2　の場合も同様に証明可能なので、1/2以上に限定する）

g(x)=(f(x0)-f(y0))/(x0-y0) * (x-y0) + f(y0)
とし、（点(x0,f(x0))と(y0,f(y0))を結ぶ直線）
h(x)=f(x)-g(x)
とすると、
h'(x)=f'(x)-(f(x0)-f(y0))/(x0-y0)＜0
なので、h(x)は狭義の単調減少関数。
これは、h(x0)=h(y0)=0　と矛盾する。

回答No.2

Tacosan

平均値の定理とか微分積分学の基本定理とかは使っていいですか?

補足

かまいません

回答No.1

proto

成り立たないように思う。
　　f(x) = arctan(4x)/π
とすると、全てのxについて
　　-1/2 < f(x) < 1/2
だから|f(x)|<1/2を満たす。

しかし、x=1/4,y=0の時を考えると
　　(f(1/4)-f(0))/(1/4-0) = (1/4-0)/(1/4-0) = 1 > 1/2
となる。

補足

パソコンの画面では見えにくいですけど、
｜f　' (x)｜ < 1/2　ならば

です