関数の連続性

質問

お世話になります。数列anがpに収束し、関数f=x^tとする時（tは正の整数）、数列f(an)はf(p)に収束することを証明せよという問題です。関数の連続性の定義によりε-n法で、tが1,の場合は|an- p| <εとなり証明可能。t=2の場合は　|an^2- p^2| <ε→|an - p| |an + p| <εとなり証明可能でt=3の場合にも同じく証明可能なのですが、
|(an)^t - p^t| <εの場合にはどういう風に証明すればいいのでしょうか？数学的帰納法は使えますでしょうか？それとも|(an)^t - p^t| を変形して定義に合う形に直せますでしょうか？ここで使ってる定義とはコーシー列の定義と同義です。どなたか分かる方、宜しくお願いします。

回答No.4

hugen · ベストアンサー

関数の連続性の定義によりε- δ法で、
|x - p|＜δ 　⇒　　|f(x) - f(p)|＜ε　　 --------------(A)
極限の定義によりε-N法で、ε＝δ　に対して
N＜n 　⇒　　|an - p|＜δ　　　　　　　　　-------------(B)
(A) で　x＝an　の場合
|an - p|＜δ 　⇒　　|f(an) - f(p)|＜ε　　-------------(C)
(B) (C) から
N＜n 　⇒　　|f(an) - f(p)|＜ε
よって、極限の定義により、数列f(an)はf(p)に収束する.

と　いうことではありませんか？

回答No.3

zk43

帰納法でやる場合は、まず、an→α、bn→βならば、anbn→αβという
数列の極限に関する一般的な性質を示しておく。
t=1の場合は、an→pだから成り立つ。
tのとき成り立つとすると、t+1のとき、
an^(t+1)=an^tan→p^tp=p^(t+1)
（ここで、上の一般的な性質を使っている。）
となって、t+1のときも成り立つ。

回答No.2

Tacosan

おっととと.
Σ(i: 0→k-1) a^i = ...
です. すみません.

回答No.1

Tacosan

帰納法はいらないね.
Σ(i: 0→k-1) a^k = (1 - a^k)/(1 - a) = (1^k - a^k) / (1 - a)
だから.

補足

ご解答ありがとうございます。回答者様の解答はa^kの和ですよね？それがどう|(an)^t - p^t| を|an- p| を使って表す事と関係しているのかがいまいち分かりません。補足頂けたら嬉しいです。宜しくお願いします。