4次関数の極小値

質問

こんばんは。微分法についての高校数学の問題です。

[定義]
　ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が極小値を持つ（ｘ^4の係数が負の四次関数ｆ（ｘ）が極小値を持つ）とき、ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ。

　　なぜでしょうか？ ←※これが質問です

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この[定義]は以下の問いを解答するために与えられたポイントを抜き出しました。

問い：
「ｆ（ｘ）＝－ｘ^4＋ａ（ｘ－２）^2　（ａ＞０）について、次の問いに答えよ
(1)ｆ（ｘ）が極小値を持つようなａの値の範囲を求めよ。」

　どうもよくわかりません。解説をお願いします。
また、必要があれば、問題集の解答も表示します。
よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

＞＞＞
ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が極小値を持つ
とき、ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ。

？！
なんか変ですね。

ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が　極　大　値　を持つ
とき、ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ。

ですよね？

さて、
これは、グラフを描いてみるとわかります。
たとえば、
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）（ｘ－５）（ｘ－１０）
という四次関数のグラフを描いてみますと、
ｘ＝－２、ｘ＝－１、ｘ＝５、ｘ＝１０　という４か所でＸ軸と交わります。
すると、
ｘ＝－２　と　ｘ＝－１　の間に極小になる場所があり、
ｘ＝－１　と　ｘ＝５　の間に極大になる場所があり、
ｘ＝５　と　ｘ＝１０　の間に極小になる場所があり
ます。
その場所が、ｆ’（ｘ）＝０　の場所であり、そのときのｘ座標がｆ’（ｘ）＝０　の解です。

次に、ｆ（ｘ）＝ｘ^4　という最も単純な四次関数を考えます。
この関数のグラフは、ｆ（ｘ）＝ｘ^2 と似ていて、ｘ＝０の場所にしか極値がありません。
ｆ（ｘ）＝ｘ^4－１６　も同様です。
そのたった１か所の極値とは、極小値ですから、「極大値はない」わけです。

というわけで、グラフで理解するのがよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

「＞これは、グラフを描いてみるとわかります。
たとえば、
ｆ（ｘ）＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）（ｘ－５）（ｘ－１０）
という四次関数のグラフを描いてみますと、
ｘ＝－２、ｘ＝－１、ｘ＝５、ｘ＝１０　という４か所でＸ軸と交わります。
すると、
ｘ＝－２　と　ｘ＝－１　の間に極小になる場所があり、
ｘ＝－１　と　ｘ＝５　の間に極大になる場所があり、
ｘ＝５　と　ｘ＝１０　の間に極小になる場所があり
ます。
その場所が、ｆ’（ｘ）＝０　の場所であり、そのときのｘ座標がｆ’（ｘ）＝０　の解です。」

↑具体的数値（一般形）にするとよくわかりますね。ありがとうございます。

＞次に、ｆ（ｘ）＝ｘ^4　という最も単純な四次関数を考えます。
この関数のグラフは、ｆ（ｘ）＝ｘ^2 と似ていて、ｘ＝０の場所にしか極値がありません。

↑４次関数の特殊な形（重解）なので、一般形の４次関数は解が４つあり、
「ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が　極　大　値　を持つ
とき、ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ。」と考えておけばよいのですね。

回答No.4

pontiac_gp

＞結局都合3回グラフの増減が変化することになるので、
＞f'(x)=0となる点が3つ必要です。
＞↑これが疑問です。

どの部分がわからないのかわからないので両方に。

＞結局都合3回グラフの増減が変化することになるので、

このグラフは途中はどうあれ左上から「下降して(A)」やってきて
最後は右上に「上昇して(B)」去っていく形になります。
その途中のどこかで極大値すなわち「上昇から下降に転ずる点(C)」があるというのです。

ということは(A)より後にまず1回上昇に転ずる点(D)が必要です。
そして(C)で下降に転じた後、どこか(E)で上昇に転じないと右上に去ることができません。

結局「無限大から下降してきて(A)」「上昇に転じ(D)」「下降に転じ(C)」「上昇に転じ(E)」「無限大に上昇していく(B)」
ということになるので、上昇から下降または下降から上昇に転ずる点は(D)(C)(E)の3箇所ないといけません。

これが「都合3回グラフの増減が変化する」ということです。

＞ f'(x)=0となる点が3つ必要です。
グラフの増減が変化する（＝上昇から下降へ、または下降から上昇へ転ずる）ということは
その地点での変化率＝微分係数がゼロということです。これは微分の基本。
（厳密には微分可能性の前提が必要ですが自明とします）

微分係数f'(x)の正負はグラフが右上がり（上昇）か右下がり（下降）かを表します。
f'(x)>0の間はグラフは上昇し、f'(x)<0の間は下降します。
よって上昇・下降が入れ替わる点ではf'(x)=0になる必要があるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞ANo.3さんの表現をお借りすれば、
↓(減少)極小(増加)極大(減少)極小(増加)↑
ということですね。

回答に感謝いたします。

回答No.3

tarame

その４次関数のグラフをイメージしてください。
極大値をもつということは、グラフが
(減少)極小(増加)極大(減少)極小(増加)　となるときです。
このとき、ｆ’(x) の符号は、負、正、負、正　となります。
今度は、ｙ＝ｆ’(x) のグラフをイメージしてください。
(左から)４つの点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄのｘ座標を a＜b＜c＜d とするとき
ｆ’(a)＜０，ｆ’(b)＞０，ｆ’(c)＜０，ｆ’(d)＞０となるように
ｙ＝ｆ’(x)上にとれます。
Ａ／Ｂ＼Ｃ／Ｄをむすぶと、ｘ軸との交点が３個あることがわかります。
よって、ｆ’(x)＝０は異なる３個の実数解をもつことになります。

お礼

回答ありがとうございます。

「イメージ」の方法を教えていただきました。感謝します。

回答No.1

pontiac_gp

質問は、
ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が極「大」値を持つ ⇒ ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ
はなぜ成立するのか？ですか。
4次が正なら極小値を持つのは自明ですから。

4次の係数が正ということは、
lim[x→-∞]f(x) = +∞
lim[x→+∞]f(x) = +∞
なわけです。だからグラフは左上から来て右上に去っていく。これが極大値を持つとします。
極大値というのは「その近傍での最大値」なので
極大値の近傍でグラフは増加から減少に転じていなければなりません。
左上から減少してきたグラフが「増加から減少」に転じるためには、
まず極大値より左に増加する区間がないといけません。
そして極大値より右で増加に転じて右上に去っていく必要があります。

結局都合3回グラフの増減が変化することになるので、
f'(x)=0となる点が3つ必要です。

厳密には平均値の定理（かロルの定理）で証明できそうな気はします。

お礼

回答ありがとうございます。

＞4次が正なら極小値を持つのは自明ですから。

4次の係数が正ということは、
lim[x→-∞]f(x) = +∞
lim[x→+∞]f(x) = +∞
なわけです。だからグラフは左上から来て右上に去っていく。

↑ありがとうございます。指摘のとおりだと思いました。

＞結局都合3回グラフの増減が変化することになるので、
f'(x)=0となる点が3つ必要です。

↑これが疑問です。

補足

回答ありがとうございます。
　質問の訂正をします。　回答者さんの指摘のとおりです。

「ｘ^4の係数が正の四次関数ｆ（ｘ）が極「大」値を持つ ⇒ ｆ’（ｘ）＝０は異なる３つの実数解を持つ
はなぜ成立するのか？」

です。