関数と面積の問題です

質問

pを正の実数として
f(x)=|x|^p
g(x)=e^(p(x-1)) ←eのp(x-1)乗
とするとき
(1) f(x)とg(x)はx=1以外にただ一つpに依らない解αを持つことを示せ。
(2) f(x)とg(x)で囲まれた部分の面積をS(x)とすると、p→+0のときS(x)/p の極限をαを用いて求めよ。ただし必要ならばt>0のとき
1 - t + t^2/2 - t^3/6 <e^(-t)
<1 - t + t^2/2
が成り立つことを使え。

という問いです。

(1)はf(x)が例えばp=2の時は放物線ですし、そうでなくても放物線みたいな形になるから、それと指数関数の交点なのでxが正の所と負の所の両方に一つずつあるはずで、正の方がx=1に他ならないのでxが負の方で方程式を解くと、上手いことpが消えるので、pに依らないαの関係式
(-α)=e^(α-1)
が得られます。

(2)を(1)で得られた関係式を駆使して与えられた不等式でハサミこもうとしたのですが、上手く出来ません。

以上について、お力を貸して下さい！

よろしくお願いします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
αは
-1<α<0 かつ
(-α)^p=e^(p(α-1)) → -α=e^(α-1)
を満たす。
証明はグラフを使って証明すればよいでしょう。
[証明]
f(x)は点(-1,1)と原点(0,0)を通るx≦0で連続な単調減少関数であり
g(x)は点(-1,1/e^(2p)) と点(0,-1/e^p)を通るx≦0で連続な単調増加関数である。
ここで、　0<1/e^(2p)<1/e^p<1 であるから
f(x)とg(x)のグラフは-1<x<1の範囲にただ１つの交点(α,f(α)) (-1<α<0)をもつ。

0≦xの場合
h(x)=g(x)-f(x)は　0≦x≦1で単調減少関数であり、x=1でh(x)=g(x)-f(x)=0,
1≦x　で単調増加関数であるので　h(x)=g(x)-f(x)=0はx≧0でただ１つの解x=1を持つ。
ことを示せばよい。

以上から、h(x)=g(x)-f(x)=0のかx=1以外の解はx=αのみであることが判る。
（証明終り）
ここでαは-α=e^(α-1)を満たす-1<α<1の解です。αは解析的には求められませんが値そのものはニュートン法を使えば求めることができます。α=-0.2784645427...
また大学数学レベルになりますがランベルトのW関数を使えば
α=-W(1/e)
と求められます。

(2)
S=∫[α,1] g(x)-f(x) dx= ...
=(e^(-p)*((αp-p-1)e^(αp)+e^p))/(p*(p+1))
lim(p→+0) S(p)/p=(1/2)(α-1)^2 ... (答)

お礼

解決いたしました

ありがとうございました

補足

回答および、とても詳しい解説ありがとうございます

関数を導入することで、
-α=e^(α-1)
の解が得られるとは驚きでした

さて、僕の質問の仕方にも問題があったのは(2)の方で、これが上手く解けずに困っています

∫[α→1] (g(x)-f(x))dx
= ∫[α→0] (e^p(x-1) - (-x)^p)dx
+ ∫[0→1] (e^p(x-1) - (x)^p)dx
この一項目について
[e^p(x-1)/p + (-x)^(p+1)/p+1]のα→0
なので
e^(-p)/p - e^p(α-1)/p - α^(p+1)/p+1
また二項目について
[e^p(x-1)/p - x^(p+1)/p+1]の0→1
なので
1/p - 1/(p+1) -e^(-p)/p
よって
S(p)=1/p - 1/(p+1) - e^p(α-1)/p - α^(p+1)/p+1
ここからpで割って、どのように与えられた不等式を使って評価して計算出来る形にするのかがわかりません……

回答待っております
よろしくお願いします