３次関数について

質問

一般に3次関数で、3個の実数解をもつための条件は関数f(x)が極値をもち、極大値と極小値が異符号となること。

問題　
x^3+px+q=0　(p,qは実数)が3個の実数解をもつための必要十分条件を求めよ。
この問題に対して、私はx=sのとき極大値をもち,x=tのと極小値を持ち
f(s)>0,f(t)<0 　(s<t)　ならばいいと判断したのですが、
教科書では
f(s)×f(t)<0という条件をもとに,答えをだしているのですが、
x^3の係数は正なので、なぜそのような条件になるか分からないのですが、分かる方教えてください。

回答No.7

noname#86290

http://oshiete1.goo.ne.jp/user.php3?u=826002
釣られた..、俺とした事が…。

もういいからさっさと締め切れよ。
満足だろ？

回答No.6

take_5

＞(2)　f(s)×f(t)<0　(s≠t)ここではsとtの大小関係はわからない

誤解するな。私が書いた下記の事は
＞以上の点を踏まえて、x^3の係数の正負に関わらず、
＞(1)相異なる3個の実数解を持つ条件は、f(s)*f(t)＜0
＞(2)重解を含む3個の実数解を持つ条件は　f(s)*f(t)≦0
＞(3)実数解を1個のみ持つ条件は　f(s)*f(t)＞0

換言すると、

以上の点を踏まえて、x^3の係数の正負に関わらず、
(1)相異なる3個の実数解を持つ条件は、極大値*極小値＜0
(2)重解を含む3個の実数解を持つ条件は　極大値*極小値≦0
(3)実数解を1個のみ持つ条件は　極大値*極小値＞0

という事だ。従って、sとtの大小は当然にも前提されている。

回答No.5

noname#86290

結局は同じ事を言っている。
f'(x) = 0で得られる解をs,t(s≠t)とすると、
f(s) f(t)のうちどちらか一方が極小値、極大値である事は
明らか。f(s)f(t) < 0というのは
極大値×極小値は負と言ってるのと同じ。
だから、極小値＜極大値なので、
そうなるためには、明らかに極大値 は正　極小値は負
つまり、s < tとするとこの例では、f(s) > 0 f(t) < 0
になる。

補足

みなさん、ありがとうございます。代表してここに書きたいと思います。

みなさんの考え方から、
f'(s)=0 f'(t)=0
(1)　s>tのとき　f(s)>0かつf(t)<0
(2)　f(s)×f(t)<0　(s≠t)ここではsとtの大小関係はわからない。

(1)と(2)は同値であること。という解釈をしました。
ここで(1)ならば(2)はこれは明らか。(2)から(1)を示すにはどうすればいいですか？

回答No.4

sanori

こんにちは。

なぜ？
がご質問ですよね。
グラフで考えると、わかりやすいと思います。

まず、
ｆ（ｘ）が３個の実数解を持つためには、
ｙ　＝　ｆ（ｘ）＝　ｘ^3 ＋　ｐｘ　＋　ｑ
のグラフがＸ軸と３回交わらないといけない、ということはおわかりかと思います。

ｘ^3　の係数が正なので、
ｙ　＝　ｆ（ｘ）＝　ｘ^3 ＋　ｐｘ　＋　ｑ
のグラフは、
１．はるか左下の遠くから右上がりに上ってきて、
２．Ｘ軸を横切って（１回目）
３．ｘ＝ｓ　で極大になって進路を右下方向に変え、
４．Ｘ軸を横切って（２回目）
５．ｘ＝ｔ　で極小になって進路を右上方向に変え、
６．Ｘ軸を横切って（３回目）
７．はるか右上へ向かっていく、
という進路をたどります。

上記の３では、ｆ（ｓ）＞０
上記の５では、ｆ（ｔ）＜０
です。
マイナスとプラスをかければマイナスになるわけですから、
ｆ（ｓ）・ｆ（ｔ）　＜　０　です。

なお、
ｆ（ｓ）・ｆ（ｔ）　＜　０
となるのは、別に　ｘ^3　の係数がプラスである場合に限りません。
ｙ　＝　ｆ（ｘ）＝　－ｘ^3 －　ｐｘ　－　ｑ
でもよいのです。
その場合は、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフが上記に対し、Ｘ軸に関して線対称なグラフになります。
そして、
上記の３に相当するところでは、ｆ（ｓ）＜０
上記の５に相当するところでは、ｆ（ｔ）＞０
です。
ですから、やはり
ｆ（ｓ）・ｆ（ｔ）　＜　０　です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.3

noname#70519

s<t という条件が与えられているならば、質問者の答えでよいのですが
条件が、f(s)>0, f(t)<0 の二つになるので、
一つに纏められる方が、スマートだ、ということでしょう。

回答No.2

33550336

おそらく解答ではs,tを導関数の異なる２つの零点と定義しているのではないでしょうか？
解答で解と係数の関係を利用すると思うのですが、その際に２つの解の大小関係に関する条件は必要ありません。
なので、大小関係を仮定しなくても異符号だとわかる条件を使用したのではないか、というのが私の推測ですがどうでしょう？

回答No.1

take_5

求める条件を出すだけなら、君の答えで間違いではない。
しかし、当然にもpとqの条件を出す事になるが、教科書のようにf(s)*f(t)＜0‥‥(1)とした方が出しやすい。　これは、x^3の係数の正負に関わらずそのようになる。
f（x）＝x^3+px+q＝0　を微分すると、f´（x）＝3x^2+p＝0より、f´（x）＝0の2解をsとtとすると、解と係数の関係から、s＋t＝0、st＝-p/3を(1)に代入すればよい。
君のようにしてしまうと、この問題では簡単だが、一般には面倒になる事が多い。
ところが、解と係数の関係を使うと解きやすいという利点がある。
それだけの事。

以上の点を踏まえて、x^3の係数の正負に関わらず、
(1)相異なる3個の実数解を持つ条件は、f(s)*f(t)＜0
(2)重解を含む3個の実数解を持つ条件は　f(s)*f(t)≦0
(3)実数解を1個のみ持つ条件は　f(s)*f(t)＞0

と、覚えておくと良い。