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大学の数学の問題がわかりません。

(a,b)で定義された関数f(x)がf''(x)>0を満たすとする。 t1,t2を t1 + t2 = 1となる正の実数とするとき、 任意 x1,x2∈(a,b)対して f(t1x1 + t2x2)≦t1f(x1) + t2f(x2)となることを示せ。 という問題なのですがわかりません。

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  • R_Earl
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回答No.5

ANo.3, 4です。間違いがありました。 t1x1 + t2x2の値は「x1とx2をt1:t2に内分する値」と書きましたが、 比の順番が逆でした。t1x1 + t2x2は「x1とx2をt2:t1に内分する値」ですね。 同様にt1f(x1) + t2f(x2)も「f(x1)とf(x2)をt2:t1に内分する値」です。 ついでにANo.3の説明だと分かりにくいかなと思って図を作ってみました。 図中の下の方の赤い点のy座標がf(t1x1 + t2x2)で、 上の方の赤い点のy座標を計算するとt1f(x1) + t2f(x2)になります。 「下に凸な曲線」と「その曲線上の2点をとって引いた弦」を比べると、 常に弦の方が上の位置にあるので、 f(t1x1 + t2x2)≦t1f(x1) + t2f(x2)となるのは明らかなのではないかと思いました。 ただ、「下に凸な曲線」と「その曲線上の2点をとって引いた弦」を比べた時、 本当に弦の方が常に上の位置にあるかどうかに関しては ちゃんと示す必要があるかもしれませんね。

megunatume
質問者

お礼

丁寧に説明していただきありがとうございましたm(_ _)m

その他の回答 (4)

  • R_Earl
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回答No.4

> すいません > > この弦の式にx = Xを代入するとy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られるだろうと想像がつきます。 > 実際にやってみたところ、そうなるようです。 > > がわかりません^^; 何が分からないんでしょうか? 弦の式が求め方が分からないのでしょうか? 弦の式にx = Xを代入してもy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られないのでしょうか? それともそれ以外でしょうか? 弦の式は普通に2点の直線を求める方法を使えば良いです。 高校数学の数2で、「傾きk、点(a, f(a))を通る直線の式はy - f(a) = k(x - a)となる」 という事を習ったと思います。 今回もそれを使えば良いです。 弦は2点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))を通るので、 直線の傾きkはx1, x2, f(x1), f(x2)を使って表されます (これに関しては中学数学で習った方法をそのまま使えば良いです)。 通る点(a, f(a))に関しては、(x1, f(x1))でも(x2, f(x2))のどちらを使っても良いと思います。 そうすると弦の直線の式がx1, x2, f(x1), f(x2)を使って表されるはずです。 弦の式にx = Xを代入してもy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られないのなら、 X = t1x1 + t2x2 = t1x1 + (1 - t1)x1 (t1 + t2 = 1よりt2 = 1 - t1) と考えてみましょう。 つまり弦の式にx = t1x1 + (1 - t1)x1を代入して下さい。 そうするとy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られます。 他に分からない点があったら、具体的に「何が分からないのか」を教えてください。 計算が上手くいかないようなら、 「上手くいかなかった計算過程・結果」等を添えてください。

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.3

> f(t1x1 + t2x2)≦t1f(x1) + t2f(x2)となることを示せ。 f''(x)>0なのでy = f(x)は下に凸な曲線です。 ここでf(t1x1 + t2x2)とt1f(x1) + t2f(x2)の意味について考えてみました。 まずf(t1x1 + t2x2)についてです。 t1x1 + t2x2はx軸上の点x1とx2をt1;t2に内分するx座標を示しますよね。 とりあえずt1x1 + t2x2をXとおいておきます。 f(t1x1 + t2x2)はx = Xにおける曲線y = f(x)のy座標です。 次にt1f(x1) + t2f(x2)です。 t1f(x1) + t2f(x2)はf(x1)とf(x2)をt1:t2に内分した値です。 なのでこれは(x1, f(x1))と(x2, f(x2))を結んだ線分(というより弦)を t1:t2に分ける点のy座標ではないかと思いました。 弦をt1:t2に分ける点のx座標はt1x1 + t2x2 = Xであるので、 この弦の式にx = Xを代入するとy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られるだろうと想像がつきます。 実際にやってみたところ、そうなるようです。 「下に凸な曲線」と「その曲線上の2点を結んだ線分(弦)」を図に描くと、 常に弦の方が曲線よりも上にあります。 下に凸な曲線のx = Xにおける点のy座標はf(t1x1 + t2x2)となり、 弦上のx = Xにおける点のy座標がt1f(x1) + t2f(x2)となるので、 与えられた区間内で常にf(t1x1 + t2x2)≦t1f(x1) + t2f(x2)が成り立つはずですよね。 後はこの事をちゃんと証明してやればよいのではないでしょうか。

megunatume
質問者

補足

すいません この弦の式にx = Xを代入するとy = t1f(x1) + t2f(x2)が得られるだろうと想像がつきます。 実際にやってみたところ、そうなるようです。 がわかりません^^;

  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.2

先ずはTaylorの定理からx,y∈(a,b)に対し、 f(x)≧f(y)+f'(y)(x-y)となる事を示しましょう。 特にx=X1, x=X2に対し f(X1)≧f(y) + f'(y) (X1-y) f(X2)≧f(y) + f'(y) (X2-y)です。 y=T1X1 + T2X2として、後は2式から問題の式を 導きましょう。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

f(x1) = f(x2) = 0 が仮定できて, あとは平均値の定理と f''(x) > 0 から f'(x) は単調増加かつ f'(x1) < 0, f'(x2) > 0. あとは f'(x) を定積分すればいけるんじゃなかろうか.

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