無限級数

質問

無限級数について自分で問題を考えていたら、自分では解けないような問題を思いついてしまいました。
解法が分かる方がいらっしゃいましたらお教えいただけないでしょうか？よろしくお願いします。
(1)Σ(n=1,∞) 1/n^2
(2)Σ(n=1,∞) 1/n^n
(3)Σ(n=1,∞) nr^n 但し|r|<1

(1),(2)は収束すると思うのですが(3)はよくわかりません。是非ご教授下さい。

回答No.2

gef00675 · ベストアンサー

どれも収束します。

(1)Σ(n=1,∞) 1/n^2
n≧2の和を考え、
0 < 1/n^2 < 1/((n-1)n) = 1/(n-1)-1/n
に注意すると、部分和は
Σ(n=1,N) 1/n^2 < 2
がいえるので収束します。この極限値はフーリエ級数で求めることができて、結果は(π^2)/6になることが知られています。

(2)Σ(n=1,∞) 1/n^n
各項は正であり、しかも、収束する級数(上の(1))より小さいので,この級数も収束します。極限値は知りません。

(3)Σ(n=1,∞) nr^n 但し|r|<1
べき級数
Σ(n=1,∞) r^n = 1/(1-r)
は、収束円の内部で項別に微分してよいので、両辺を微分して
Σ(n=1,∞) nr^(n-1) = 1/(1-r)^2
よって、
Σ(n=1,∞) nr^n) = r/(1-r)^2

お礼

ご回答ありがとうございます。
(1),(2)は自分の力量が及ばない領域の問題のようです(^^;
(3)は実際に解いてみると、ちゃんと収束値が出せました。
とても助かりました。ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

(1)は、有名な級数でバーゼル問題といわれているものです。収束値はπ^2/6です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

(2)は、収束は明らかですが、収束値を求めるのは難しい気がします。

(3)は高校レベルの問題です。収束値は r/(r^2-1)^2です。
求めるのは、項をずらして引き算する（等比級数の公式を出すときと同じような操作）か、あるいは、等比級数の公式をrで微分してrをかければよいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(1),(2)は普通には解けそうにはないと思っていましたが、やはり難しいのですね。(3)はご指摘いただいたとおりにしたら解けました。前者の解き方を実践してみたのですが、収束値がr/(1-r)^2になり、ご回答いただいたr/(r^2-1)^2とは異なってしまったのですが、いかがでしょうか。
とても助かりました。ありがとうございます。