無限級数について。

質問

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。

(１)Σ((下)n=1.(上)∞){2*3^n+3*(-2)^n}/6^n

(２)Σ((下)n=1.(上)∞){1^2+2~2+3~2+…+n^2}/n~3

解けなくて困っています＞＜

解答おねがいします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞(１)Σ((下)n=1.(上)∞){2*3^n+3*(-2)^n}/6^n

この形の式が出てくるということは、大学生の問題で、
無限等比級数の和は、いきなり公式で大丈夫ですよね？

{2*3^n + 3*(-2)^n}/6^n
= 2*(3/6)^n + 3*(-2/6)^n
= 2*(1/2)^n + 3*(-1/3)^n

なので、与式は、２つの(公比が-1～1の)等比数列の和
になり、どちらも収束するので、

与式 = Σ[n=1,∞] 2*(1/2)^n + Σ[n=1,∞] 3*(-1/3)^n
= 2*1/(1 - 1/2) + 3*1/(1 + 1/3)
= 4 + 3*(3/4) = 4 + 9/4 = 25/4

＞(２)Σ((下)n=1.(上)∞){1^2+2~2+3~2+…+n^2}/n~3

「~」は、勿論、「^」を打とうとして、ついシフトも
押しちゃったタイプミス、ですよね？

与式 = Σ[n=1,∞] (1/n){(1/n)^2 + (2/n)^2 + (3/n)^2 + … + (n/n)^2}
= Σ[n=1,∞] (1/n)Σ[k=1,n](k/n)^2
= (1/1)(1/1)^2
+ (1/2){(1/2)^2 + (2/2)^2}
+ (1/3){(1/3)^2 + (2/3)^2 + (3/3)^2}
+ …
＞ (1/1)(1/1)^2 + (1/2)(2/2)^2 + (1/3)(3/3)^3 + …
= 1 + 1/2 + 1/3 + …

ここで、1 + 1/2 + 1/3 + … = Σ[n=1,∞] 1/k = ∞ だから、
(調和級数の発散は、証明なしで使っていいと思いますが、
必要なら、調和級数で、検索してみてください)

与式は、∞に発散する。