無限級数

質問

おしえてください

S=Σ[n=1 To ∞]｛(1-x)/1＋x｝＾nについて

(1)Sが収束するとき、ｘの値の範囲
収束についてあまりわかりません。
参考書には
初校(1-x/1＋x),公比(1-x/1＋x)の無限等比級数の収束条件は、初項=0または|公比|＜１よって、
x=1またはx>0
よって
x>0
とかいてありますが、これはどうやるのですか？

(2)

xが(1)で求めた条件を満たすとき、この無限級数の和を求める

（1-x/1＋x)/｛1-(1-x/1＋x)｝と書いてありますが、
これは、公式
Sn=(1-r＾n)/1-rにあてはまらないとおもうのですが。

回答No.2

mmky

回答出てますね。参考程度に
S=Σ[n=1 To ∞]｛(1-x)/(1＋x)｝＾nについて

(1-x)/(1＋x)=z , S=Σ[n=1→∞]ｚ＾n
z＜1 で収束しますね。
(1-x)/(1＋x)＜1
(1-x)＜(1＋x)　で両辺から1を引くと、(-x)＜(＋x)
だから、ｘ＞0　が条件ですね。

S=Σ[n=1→∞]ｚ＾n=z+ｚ＾2+ｚ＾3+・・・+z＾n+
=z(1+ｚ+ｚ＾2+・・・)
=z/(1-z)
z=(1-x)/(1＋x)
を入れると答えが出ますね。
1/(1-z)=(1+ｚ+ｚ＾2+・・・) に展開できることを覚えておくといいですね。

回答No.1

liar_adan

(1)
公比の絶対値が1以下とはつまり
-1 < (1+x)/(1-x) < 1
となればいいわけです。
これを解くとxの範囲が出ます。

(2)
書いているSnの式は、1から始まりn-1乗まで足すときの式です。
1 + r + r^2 + r^3 + ...+ r^(n-1) = (1-r＾n)/(1-r)
初項a、公比rの第n項までの級数の和は
a(1-r^n)/(1-r)になりますが、
r^nの部分は、0に収束しますね。
そして、初項として(1+x)/(1-x)をとってるわけです。