無限級数です

質問

1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+・・・・+1/(n^2)+・・・・
の無限級数の解法と解を教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　f(x) = x^2
を区間 -π≦x≦πでフーリエ展開します．
偶関数ですから，cos 項のみが存在して
(2)　　x^2 = a(0)/2 + Σ{n=1～∞} a(n) cos(nx)
の形になり，係数 a(n) は
(3)　　a(n) = (1/π)∫{-π～π} t^2 cos(nt) dt
　　　　　　= (-1)^n / n^2　　　(n≧1)
(4)　　a(0) = (1/π)∫{-π～π} t^2 dt = 2π^2 / 3
になります．
したがって，x^2 のフーリエ展開は
(5)　　x^2 = (π^2/3) + Σ{n=1～∞} [(-1)^n cos(nx) / n^2]
で，これに x =π を代入すると
(6)　　Σ{n=1～∞} [1 / n^2] = π^2 / 6
になります．
これが答ですね．

ついでに，x = 0 を代入すると
(7)　　Σ{n=1～∞} [(-1)^(n+1) / n^2] = π^2 / 12
も得られます．

同じことを x^4 についてやれば
(8)　　Σ{n=1～∞} [1 / n^4] = π^4 / 90
もわかります．

お礼

な～るほど。数学が専門ではないのでやや難しいですが、ありがとうございます。