無限級数

質問

無限級数
1+x(1-x)+(x^2)(1-x)^2+・・・
が収束するとき
(1)xの値の範囲を求めよ。
(2)この無限級数の和Sの値の範囲を求めよ。

この問題なんですが
(1)は
公比ｒ＝x(1-x)
収束するということは　
｜r｜＜１　だから
x(1-x)＜１で
-x^2+x-1＜0
x^2-x+1＞0　　となり
とやっていたんですがどうやら答えが違うようなので
おねがいします。
(2)はわかりません。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞｜r｜＜１　だから
＞x(1-x)＜１で
｜x(1-x)｜＜1
ですよ。両辺２乗して解くか（４次不等式）、もしくは、
0≦x(1-x) かつ x(1-x) < 1
または、
x(1-x)≦0 かつ x(1-x) > -1
として解くかですね。

回答No.5

kkkk2222

＃４です。訂正します。

ーーー
誤

（（ｘ－（１／２））＾２）＋（３／４）＞（３／４）

（３／４）＜（ｘ＾２）ーｘ＋１＜２

４／３＞１／（（ｘ＾２）ーｘ＋１）＞１／２　
１／２＜Ｓ＜４／３

ーーー
正

（（ｘ－（１／２））＾２）＋（３／４）≧（３／４）

（３／４）≦（ｘ＾２）ーｘ＋１＜２

４／３≧１／（（ｘ＾２）ーｘ＋１）＞１／２　
１／２＜Ｓ≦４／３

回答No.4

kkkk2222

ーーー
＞＞　　x(1-x)＜１
＞＞　　x^2-x+1＞0

絶対値をはずすとき、
ー１＜x(1-x)＜１

ー１＜ｘ－（ｘ＾２）＜１
（ｘ＾２）ーｘ－１＜０、かつ、０＜（ｘ＾２）ーｘ＋１
と後半は完成しています。
（＃１）　（ｘ＾２）ーｘ＋１＞０　は　ｘは任意（全てｘがＯＫ）。
（＃２）　
（ｘ＾２）ーｘ－１＜０
（１－√５）／２＜ｘ＜（１＋√５）／２

（＃１）かつ（＃２）なので、
ｘの範囲は、（１－√５）／２＜ｘ＜（１＋√５）／２
ーーー
＞＞無限級数の和Sの値の範囲を求めよ。
＞＞公比ｒ＝x(1-x)
無限級数の和S　は、
初項＝１
公式、Ａ／（１－Ｒ）を使用して、

Ｓ＝１／（１－ｘ（１－ｘ））
＝１／（（ｘ＾２）ーｘ＋１）
ーーー　
範囲は、

（ｘ＾２）ーｘ－１＜０　より、
（ｘ＾２）ーｘ－１＋２＜０＋２
（ｘ＾２）ーｘ＋１＜２
また、
（ｘ＾２）ーｘ＋１＞０より、
（（ｘ－（１／２））＾２）＋（３／４）＞（３／４）

（３／４）＜（ｘ＾２）ーｘ＋１＜２

４／３＞１／（（ｘ＾２）ーｘ＋１）＞１／２　
１／２＜Ｓ＜４／３
とはなりますが。
ーーー

回答No.3

noname#47975

>｜r｜＜１　だからx(1-x)＜１で

ここが違うと思います。
|r| < 1だから、|x(1-x)| < 1になります。
絶対値を勝手に外してはなりません…。
さらに、
|x(1-x)| < 1より、
-1 < x(1-x) < 1となり、
上記不等式を分解すれば、
x(1-x) < 1 　(1)
x(1-x) > -1　(2)
(1)(2)の連立不等式となり、それらに共通する範囲を求めればよい
と思います。

(2)についてですが、
Sn= 1 + {x(1-x)}^2 ..... + {x(1-x)}^nとおきます。
左辺を計算すると、{(x(1-x))^(n+1) - 1}/{(x(1-x))-1}
となり、
無限級数が収束する場合は、|x(1-x)| < 1より
lim[x→∞]{x(x-1)}^(n+1) = 0となり、そして、
Ｓ＝lim[n→∞]Sn = 1/{x(1-x)-1}となります。
後は、（１）で求めたxの範囲から、1/{x(1-x)-1}、
すなわちＳの取り得る範囲を求めればよいだけです。

回答No.1

sep20_rain

この問題の解答は分かりませんが、参考URLのサイトに質問すると、すぐに教えてくれますよ。
参考URLのほうが数学関係者が多いので、解答も確実なものです

参考URL：

http://www1.ezbbs.net/17/yosshy/